Lineares Gleichungssystem

Wissenschaft Physik
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Wer kann mir bei der Lösung dieses linearen Gleichungssystem helfen. Ich kommen auf keine Lösung.

3x + y + 2z = 0
-x + 3y +z = 5
x + y + z = 2

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Ein Lösungsansatz!
Hallo,
lösbar ist dies Gleichungssystem z.B. mit der Substitutionsmethode
Möglichkeit eines Lösungsweges

  • Forme die 1. Gleichnung um , so daß eine der 3 Variablen
    auf einer seite allein steht.
    z.B. nach y: y = -2z - 3x
  • Ersetze nun in der 2. Gleichnug y durch das den
    aus der Umstellung gefundenen Term der 1. Gleichung
    -x + 3*(-2z -3x) +z = 5
    Diese Gleichung wieder so umformen daß z.B. z
    allein auf einer Seite steht. Dazu vorher den
    Klammerausdruck mit der 3 vor der Klammer multipl.
  • in der 3. Gleichung nun zuerst y ersetzen mit dem
    Substitut der 1. Gleichung. Nun sind nur noch die
    Variablen x und z in der 3. Gleichnung
    Nun z durch das z noch ersetzen durch das Substitut aus
    der 2. Gleichung. -> Nur noch nach x umformen.
  • mit errechnetem x in die 2. Gleichung zurückgehen und
    z errechnen -> in die 1. Gleichung gehen und y ausrechnen.

Ergebnis sollte sein x=-2.5 , z =3 , y=1.5
Zuletzt Probe machen nicht vergessen.

[Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]

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ich bekomme auch keine kösung.

[Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]

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Wer kann mir bei der Lösung dieses linearen Gleichungssystem
helfen. Ich kommen auf keine Lösung.

3x + y + 2z = 0
-x + 3y +z = 5
x + y + z = 2

Hallo,
Ergebnis sollte sein x=-2.5 , z =3 , y=1.5
Zuletzt Probe machen nicht vergessen.

bei deiner 2. gleichung würde 10 herauskommen:
-x+3*y+z=5
-(-2.5)+3*1.5+3=10

du hast das minus vorm x übersehn.
cu, schuft

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Hallo noch mal,
danke an Schuft, habe tatsächlich ein Minus verschusselt.
Damit kommt bei mir am Ende, wenn y und z ersetzt wurden
ein Ergebnis wie 1 = 2 raus.
Das bedeutet dann wohl, das das Gleichungssystem tatsächlich
nicht lösbar ist, was allerdings auch ein Ergebnis darstellt.
Gruß Uwi

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I : 3x + y + 2z = 0
II : -x + 3y + z = 5
III : x + y + z = 2

Wie bereits gesagt hat dieses Gleichungssystem keine Lösung, was man bereits im ersten Schritt des Gauss-Algorithmus erkennt:

I - 3\*III : -2y - z = -6
II + III : 4y + 2z = 7

Trotzdem ist die Lage nicht hoffnungslos. Wenn es schon unmöglich ist, die richtige Lösung zu finden, dann kann man wenigstens versuchen diejenige Lösung zu finden, die am wenigsten falsch ist. Dazu definiert man zunächst eine Funktion, die Auskunft darüber gibt, wie falsch die Lösung ist. Hier bietet sich die Fehlerquadratsumme an:

FQS(x,y,z) = (3x+y+2z)2 + (-x+3y+z-5)2 + (x+y+z-2)2

Um den Fehler so klein wie möglich zu machen, müssen wir das Minimum dieser Funktion finden. Dazu setzen wir die partiellen Ableitungen von FQS nach x, y und z Null und erhalten ein neues lineares Gleichungssystem:

dFQS/dx = 22x + 2y + 12z + 6 = 0
dFQS/dy = 2x + 22y + 12z - 34 = 0
dFQS/dz = 12x + 12y + 12z - 14 = 0

Dieses ist zwar unterbestimmt aber wenigstens lösbar. Seine Lösung (und damit die optimale Lösung für das ursprüngliche Problem) lautet

y = x + 2
z = -2x - 5/6

Die Fehlerquadratsumme beträgt in diesem Fall 5/6.