Hallo,
ich würde gerne wissen, wie man die Linearität und Zeitinvarianz einer DGL überprüft.
Wie man das mit einer normalen Funktion wie y=f(x) zeigt ist mir klar, aber nicht bei einer Differentialgleichung.
Konkret:
(a+b*x.)*x: + c*sin(x) + b* (x.)^2
wobei a,b,c konstanten, x. und x: erste und zweite ableitung sind.
Man sieht zwar gleich, dass das System nichtlinear und zeitinvariant ist, aber wie begründet man das?
Gruß
gleysmo
(a+b*x.)*x: + c*sin(x) + b* (x.)^2 = 0
meinte ich.
(a+b*x.)*x: + c*sin(x) + b* (x.)^2 = 0
meinte ich.
Diese DGL ist von 2. Ordnung. Eine lineare DGL 2. Ordnung ist von der
Form
F(t,x,x.,x…)=g(t)
mit einer Funktion F, die in x, x. und x… jeweils linear und in den drei Argumenten x,x. und x… homogen vom Grad 1 ist. Ich weiß, das liest sich kompliziert. Das heißt aber nur, es muß gelten:
F(t,A+B,C,D)=F(t,A,C,D)+F(t,B,C,D)
F(t,A,B+C,D)=F(t,A,B,D)+F(t,A,C,D)
F(t,A,B,C+D)=F(t,A,B,C)+F(t,A,B,D)
und
F(t,lambda A,lambda B,lambda C)=lambda F(t,A,B,C)
für beliebige Zahlen(!) A,B,C,D,lambda. Hier haben wir
F(t,A,B,C) = (a+b*B)*C + c*sin A + b*B^2
Dieses F ist nicht linear in A (wg. sin) und nicht linear in B (wg. B^2; der Term BC wäre sogar noch okay!). Außerdem ist F nicht homogen, da nicht für beliebige lambda, A gilt: sin (lambda A) = lambda sin A.
***
Zeitinvarianz heißt: Wenn x(t) eine Lösung ist, dann ist auch x(t+A) für jedes A eine Lösung.
Man übersieht leicht, dass DGLen Gleichungen zwischen Funktionen sind. Im Beispiel oben steht links eine komplizierte Funktion in t, rechts die Nullfunktion (nicht die Zahl 0).
Ich nehme mal ganz mutig an, daß die Lösungen dieser DGL keine Definitionslücken haben, d.h. die Lösungen leben für alle reellen Zeiten t.
Die DGL besagt also, dass die _Zahlen_gleichung
(a+b*x.(t))*x:frowning:t) + c*sin(x(t)) + b* (x.(t))^2 = 0
für jeden Zeitpunkt t gilt. Mit jedem Zeitpunkt t ist aber auch t+A als Zeitpunkt „erlaubt“. Damit gilt auch
(a+b*x.(t+A))*x:frowning:t+A) + c*sin(x(t+A)) + b* (x.(t+A))^2 = 0.
Halt, das ist noch nicht der Beweis für Zeitinvarianz! x.(t+A) bedeutet nur: die Ableitung x. an der Stelle t+A ausgewertet.
Zeitinvarianz heißt, ob die verschobene Funktion y(t)=x(t+A) ebenfalls diese DGL löst. Es ist nun y.(t)=x.(t+A) (nach der Kettenregel!!), ebenso y…(t)=x…(t+A). Das sieht ziemlich einfach und nichtssagend aus; es heißt aber: die verschobene Funktion hat an der verschobenen Stelle die gleiche Steigung wie die ursprüngliche Funktion an der ursprünglichen Stelle. Parallele Tangenten haben die gleiche Steigung.
Der Ausdruck
(a+b*y.(t))*y:frowning:t) + c*sin(y(t)) + b* (y.(t))^2
ist also gleich
(a+b*x.(t+A))*x:frowning:t+A) + c*sin(x(t+A)) + b* (x.(t+A))^2
und nach Obigem gleich 0. y ist tatsächlich eine Lösung dieser DGL.
Anderes Beispiel: Angenommen, die DGL wäre inhomogen und lautet
(a+b*x.)*x: + c*sin(x) + b* (x.)^2 = t^4
Dann gilt auf jeden Fall auch
(a+b*x.(t+A))*x:frowning:t+A) + c*sin(x(t+A)) + b* (x.(t+A))^2 = (t+A)^4.
Ist die DGL
(a+b*x.)*x: + c*sin(x) + b* (x.)^2 = t^4
zeitinvariant? Testen wir y(t) aus, die gleich x(t+A) ist.
Wenn y(t) eine Lösung ist, dann muss
(a+b*x.(t+A))*x:frowning:t+A) + c*sin(x(t+A)) + b* (x.(t+A))^2=t^4
richtig sein. Die linke Seite ist aber gleich (t+A)^4. Also muss auch
(t+A)^4=t^4
für jedes A zu allen Zeiten t richtig sein, was nicht richtig ist.
In der Tat darf die Inhomogenität allenfalls noch konstant sein, damit die nicht-lineare DGL zeitinvariant bleibt.
Das war sehr länglich, aber ich hoffe, man verstehts. Linearität, wie man sie üblicherweise meint, ist gar nicht so einfach zu definieren, man braucht stets zwei Eigenschaften (f(x+y)=f(x)+f(y), f(ax)=af(x)). Die bekannte Funktion y=ax+b ist auch nicht linear (aber affin-linear). Immer wieder ein Stolperstein.
Hallo Stefan,
erstmal vielen vielen Dank dass du dir die Mühe gemacht hast, so eine ausführliche Lösung zu schreiben. Weiter so! Natürlich hast du auch nen Stern von mir bekommen.
Es war zwar nicht so ganz leicht zu verstehen, aber im Grunde ist es eigentlich keine so große Sache und ich denke auch es jetzt verstanden zu haben.
nochmal vielen Dank!!!
Gruß
gleysmo