Linearkombination

Wissenschaft Physik
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Hallo.

Ich habe hier eine Übungsaufgabe, um mein Wissen zu Linearkombinationen zu vertiefen bzw. um das zu erlernen:
Die Vektoren a=(1,1), b = (0,2) bilden ein Erzeugendensystem des Z/5-Vektorraumes (Z/5)^2. Nun soll ich einen Vektor c=(1,4) als Linearkombination von a und b schreiben. [Wobei die Zahlen alle einen Strich obendrüber haben, sagt man da, komplex konjugiert?]

v aus V heisst ja Linearkombination, von v_1,…v_n, wenn man t_1, …,t_n aus IK findet (rein formell statt t eben Lambda), sodass

v=t_1*v_1+…+t_r*v_r

gilt.

Wenn ich etwas wie Z/5 lese, muss ich immer an Division mit Rest denken.

Ich dachte mir, dass ich es durch zwei Gleichungen lösen kann

c_1 = a_1*t_1+b_1*t_1
1 = 1*t_1+0*t_2

c_2 = a_2*t_2+b_2*t_2
4 = 1t_2+2*t_2

Die zwei Gleichungen lassen sich ja auch lösen, mit t_1= 1 und t_2 = 4/3.

Jetzt habe ich eigentlich nicht diesen Strich über den Zahlen berücksichtigt, oder?

Also muss ich auf eine Division mit Rest zurückgreifen? Was muss ich denn dann miteinander dividieren?

Freue mich über Hilfe!

Grüße,
McMike

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Hallo McMike.

c_1 = a_1*t_1+b_1*t_1
1 = 1*t_1+0*t_2

c_2 = a_2*t_2+b_2*t_2
4 = 1t_2+2*t_2

Die zwei Gleichungen lassen sich ja auch lösen, mit t_1= 1 und
t_2 = 4/3.

Die Gleichungen stimmen, aber Du sollst sie nicht in den reellen Zahlen loesen, sondern in Z/5, also auf den periodisch geschlossenen Zahlen (0,1,2,3,4). Gewissermassen setzt Du „5=0“.

Dann hat die erste Gleichung immer noch die Loesung t_1 = 1, aber die zweite Gleichung schreibt sich als

4 = 1*t_1 + 2*t_2 = 1 + 2*t_2

mit der Loesung t_2 = 4, da 1+2*4=9 und 9 mod 5 = 4 ist.

Gruss,
klaus