Linkskurve, Rechtkurve- Wendepunkte >Beweis<

Wissenschaft Physik
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Hallo,

ich muss im Zuge eines Referats in Mathematik, welches das Thema „Linkskurve, Rechtkurve- Wendepunkte“ behandelt einen Beweis für follgende Aussagen führen, hab aber keinen blassen Schimmer wie ich das anstellen soll:

Gegeben ist eine im Intervall differenzierbare Funktion f.
Der Graph dieser Funktion bildet im Intervall I eine Linkskurve/ Rechtskurve, falls die Ableitung f´ im Intervall I streng monotin wächst/ fällt.

Ein Punkt, der Links- und Rechtskurve des Grapfen einer differenzierbaren Funktion voneinander trennt, heißt Wendepunkt des Graphen von f.
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So, das ganze leuchtet mir ja auch ein, und ich habe es auch verstanden und kann es anwenden, jedoch komme ich nicht dadrauf wie ich dafür einen Beweis herleiten kann/soll. Das Mathebuch gibt leider auch nichts her :frowning:

Vielen Dank für eure Antworten schonmal im Vorraus.

Gruß Sven

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Hallo, Owi.

Drei bis zwei Anhaltspunkte für Dich.

Gegeben ist eine im Intervall differenzierbare Funktion f.
Der Graph dieser Funktion bildet im Intervall I eine
Linkskurve/ Rechtskurve, falls die Ableitung f´ im Intervall I
streng monotin wächst/ fällt.

Was bedeutet „streng monoton steigend“? Das heißt, im Intervall gilt für alle x mit n>0

**f(_x_) x+n)**

Entsprechend „streng monoton fallend“:für alle x mit n>0

**f (_x_) \> f (_x+n_)**

Ein Punkt, der Links- und Rechtskurve des Grapfen einer
differenzierbaren Funktion voneinander trennt, heißt
Wendepunkt des Graphen von f.

[OT: Ein Grapf ist, je nach regionalem Bezug, eventuell ein Schmalzgebäckstück …]

Wir wissen nach dem vorhergehenden Satz, dass sich das Vorzeichen des Ableitungswertes „irgendwo unterwegs“ ändern muss. Die Ableitung ist gemäß Voraussetzung stetig und differenzierbar, muss also „irgendwo unterwegs“ die x-Achse schneiden, sprich, eine Nullstelle haben. Wir wissen also, je nachdem, ob die Ableitung streng monoton steigt oder fällt:

**f' (_x-n_) x+n)**
oder
**f' (_x-n_) \> f' (_x+n_)**

sowie

**f' (_x_) = 0**

Mit den beiden Geschichten sollte Dir der Beweis eigentlich gelingen …

Gruß Eillicht zu Vensre

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Hallo Sven,

mal Dir das einfach mal auf. Zeichne Dir ein Koordinatensystem und darin eine Funktion mit Links-, Rechtskurve oder Wendepunkt. Und dann in ein neues Koordinatensystem darunter wie die jeweilige Ableitung aussieht.

Mir hilft sowas. Wenn Du nen Vortrag machen sollst hättest Du auch gleich was zum zeigen.
Mit den anderen Tipps kannst Du dann auch sicher was mathematischeres als eine Skizze herleiten :wink:

Gruß,
Ferdinand

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Okay, jetzt stehe ich glaube total aufm Schlauch. Ich verstehe ja das mit dem streng monoton fallen/steigen etc. bloß das einzige was ich nicht verstehe ist

>>> wie ich beweisen soll, dass es eine linkskurve ist wenn der grapf der ableitung streng monoton steigt.

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>>> wie ich beweisen soll, dass es eine linkskurve
ist wenn der grapf der ableitung streng monoton
steigt. 0. Entsprechend ist ihre Ableitung f’ genau dann streng monoton steigend, wenn f’’ > 0. Deshalb kannst Du Deine Aufgabe auch so formulieren:

wie ich beweisen soll, dass es eine linkskurve ist
wenn die zweite ableitung der funktion größer Null ist: f’’ > 0.

Mal Dir ein Koordinatensystem auf ein Blatt Papier, und zeichne ein Stück einer schwach linksgekrümmten ansteigenden Kurve ein. Nun setzt Du Dich irgendwo auf diese Kurve drauf; das ist der Punkt P(x | f(x)). Infinitesimal links unten davon liegt dann der Punkt L (x – dx | f(x – dx)); und infinitesimal rechts oben davon der Punkt R (x + dx | f(x + dx)). Zeichne die Punkte P, L und R ein und schreib ihre Koordinaten dazu.

Jetzt zeichnest Du eine Gerade ein, und zwar die, die durch L und P verläuft. Das sei die Gerade g. Überzeuge Dich davon, dass R dann oberhalb von g liegt, und genau dieses „Oberhalb-Liegen“ ist gerade die Definition einer Linkskurve: Eine Links[Rechts]kurve liegt genau dann in einer Umgebung von P vor, wenn R ober[unter]halb von g liegt.

Diese Erkenntnis gilt es jetzt zu formalisieren. Aus Deiner Skizze kannst Du ersehen, dass L genau f(x + dx) – f(x) unterhalb von P liegt, und R genau f(x) – f(x – dx) oberhalb von P. Wenn R nun mehr höher über P liegt als L unter P, dann ist der Graph eine Linkskurve:

Linkskurve f(x + dx) – f(x) \> f(x) – f(x – dx)

 f(x + dx) – 2 f(x) + f(x – dx) \> 0

 f(x + dx) – 2 f(x) + f(x – dx)
 -------------------------------- \> 0
 (dx)²

 f''(x) \> 0

Der Schritt vom zweiten „“ zum dritten ist zulässig, weil dx stets > 0 ist. Somit braucht man sich über eine etwaige Division durch Null oder über eine Richtungsänderung des „>“ hier keine Gedanken zu machen.

Dass für eine fallende statt steigende Linkskurve alles richtig bleibt, kannst Du Dir selbst überlegen.

Die Argumentation für den _Rechts_kurven-Beweis ist natürlich dieselbe. Wenn Du oben „Linkskurve“ durch „Rechtskurve“ und alle „>“ durch "
f(x + dx/2) – f(x – dx/2)
f’(x) := --------------------------- (das ist die Definition von f’(x))
dx

f’(x + dx/2) – f’(x – dx/2)
==> f’’(x) = -----------------------------
dx

f(x + dx/2 + dx/2) - f(x + dx/2 - dx/2) f(…) - f(…)

dx dx
= -------------------------------------------------------------
dx

f(x + dx) - f(x) - (f(x) - f(x - dx))
= ---------------------------------------
(dx)²

f(x + dx) – 2 f(x) + f(x – dx)
= -------------------------------- --> Fertig!
(dx)²

Mit freundlichem Gruß
Martin

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das ist der hammer, ich glaube da wäre ich nie so drauf gekommen, vielen lieben dank! :smile: