Lipschitz-stetigkeit im R^n

Wissenschaft Mathematik
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Hi,
ich habe eine Frage zur L-Stetigkeit im R^n.
In R ist es ja so, dass eine differenzierbare funktion g:I->R genau dann L-Stetig ist, wenn |g’| beschränkt ist.
Gilt dieser Satz auch, wenn I nicht Teilmenge von R sondern von R^n ist? Is es also richtig, wenn ich behaupte dass eine funktion g:R^n->R^n genau dann L-Stetig ist, wenn ||Jac(g)|| beschränkt ist?
(||Jac(g)|| soll eine Matrixnorm der Jacobi-Matrix von g bezeichnen) Oder gilt vielleicht nur die Richtung ||Jac(g)|| beschränkt impliziert
g L-Stetig? (an der bin ich nämlich interessiert)

Gruss,
Timo

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In R ist es ja so, dass eine differenzierbare funktion g:I->R
genau dann L-Stetig ist, wenn |g’| beschränkt ist.
Gilt dieser Satz auch, wenn I nicht Teilmenge von R sondern
von R^n ist? Is es also richtig, wenn ich behaupte dass eine
funktion g:R^n->R^n genau dann L-Stetig ist, wenn ||Jac(g)||
beschränkt ist?

Hi Timo !

Die Richtung an der du interessiert bist gilt auf jeden Fall.
Nennen wir J(x)=g’(x) (nxn-Matrix). Wenn ||J(x)|| beschränkt ist, folgt daraus, dass es ein C gibt, so dass

\left|\left|J(x_0)(x-x_0)\right|\right|\leq C\left|\left|x-x_0\right|\right|

Jetzt Taylorentwicklung von g um x0g(x)=g(x_0)+J(x_0)(x-x_0)+O\left(\left|\left|x-x_0\right|\right|^2\right)

Dann Dreiecksungleichung

\Rightarrow \left|\left|g(x)-g(x_0)\right|\right|\leq\left|\left|J(x_0)(x-x_0)\right|\right|\leq C\left|\left|x-x_0\right|\right|

Damit ist C eine Lipschitz-Konstante.
Die Rückrichtung müsste meiner Meinung nach auch gelten, ich hab jetzt aber ehrlich gesagt nicht intensiver drüber nachgedacht.

Grüße

hendrik

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Hallo,
erstmal Danke für die Antwort. Den gleichen Ansatz habe ich mir auch überlegt, allerdings hatte ich Probleme mit dem
O(|x-x_{0}|^2)-Term. Wieso verschwindet der? Man lässt doch nicht x gegen x_{0} laufen.

Gruss,
Timo

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Hallo,
erstmal Danke für die Antwort. Den gleichen Ansatz habe ich
mir auch überlegt, allerdings hatte ich Probleme mit dem
O(|x-x_{0}|^2)-Term. Wieso verschwindet der? Man
lässt doch nicht x gegen x_{0} laufen.

Das erledigt die Dreiecksungleichung. Es geht ja nur um eine Abschätzung nach oben.

\left|\left|g(x)-g(x_0)\right|\right|
=\left|\left| J(x_0)(x-x_0)+O\left(\left|\left| x-x_0\right|\right|^2\right)\right|\right|
\leq\left|\left| J(x_0)(x-x_0)\right|\right| +\left|\left| O\left(\left|\left| x-x_0\right|\right|^2\right)\right|\right|
\leq\left|\left| J(x_0)(x-x_0)\right|\right|

Gruß

hendrik