Folgender Aufgabentext:
„Ich bohre ein Loch ganz durch eine Stahlkugel hindurch, genau durch die Mitte. Das Loch ist genau 1cm lang. Wieviel wiegt die Kugel nach dieser Operation?“
Ich habe ehrlich gesagt keine Ahnung und wäre der Meinung, dass es auf den Durchmesser der Bohrung ankommt.
Hallo Harald !
Die Aufgabe lässt sich mit den Angaben nicht lösen.
Gruß - Achim
Ergänze den Aufgabentext:
„Ich bohre ein Loch ganz durch eine Stahlkugel hindurch, genau durch die Mitte. Das Loch ist genau 1cm lang. Wieviel wiegt die Kugel nach dieser Operation , wenn ich behaupte, daß man das mit diesen Angaben eindeutig sagen kann?“
… und schon wird’s lösbar, wenn man das spez. Gewicht des Stahls zufällig auf einem Zettel aufgeschrieben hat, der in der Hosentasche steckt !
eljot
Hallo Harald !
Die Aufgabe lässt sich mit den Angaben nicht lösen.
Gruß - Achim
Dachte ich auch und bin mal auf die Lösung gespannt. Sie wird hoffentlich in dieser Woche präsentiert.
Loch in Kugel
Nunja, mit einem Loch drin ist es ja keine Kugel mehr, sondern nur noch ein Ring. Gleich noch eine Frage dazu: der Stahlstift, den ich da rausbohre(n könnte) ist an den Enden ja nicht plan - die 1 cm gelten aber für die Maximallänge? Ich glaube, um die Aufgabe zu vereinfachen würde ich es mit einem Loch von 1 cm Durchmesser versuchen - schwupps und wech…
Gruß
Vampy
Lösung ohne Rechengang
Hallo Harald !
Die Aufgabe lässt sich mit den Angaben nicht lösen.
OOOOOOOOOOOOO - DOOOOOOOOOOOCH!!!
Das Gewicht des übriggebliebenen Ringes beträgt 4,11025 g
gerechnet mit spez.Gew. von 7,85 kg/dm³
Und das Gewicht des Ringes ist wirklich unabhängig vom Kugelradius und vom Bohrungsdurchmesser
schönen Gruß
PS: Tipp zum Rechengang :
Kugel - Zylinder (Höhe 1 cm) - 2 Kugelabschnitte (h=r-0,5cm) = Restvolumen
Hallo
sicher stehe ich - wie andere - hier auf der Leitung
Die Zylinderhöhe setze ich gleich mit dem Durchmesser der Kugel, abzüglich der Kugelabschnittshöhen. Dann wäre es aber schon wichtig, den Durchmesser des Zylinders zu wissen.
Anders ausgedrückt: es ist ein Unterschied, ob ich einen haarfeinen Bohrer nehme - dann ist das Kugelgewicht nahezu unverändert, oder nehme ich einen dicken Bohrer mit dem Durchmesser der Kugel, dann bleibt von der Kugel nix mehr übrig !
Oder wie ? 
)
Gruß Andreas
[Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]
Grenzfall
Stimmt, das Volumen des weggebohrten Kugelmaterials bildet sich ja aus einem Zylinder und zwei Kalotten.
Je größer der Durchmesser wird, desto kürzer wird das Loch.
Erreicht der Lochdurchmesser den der Kugel, gibt es gar keine Länge mehr, das Loch besteht nur noch aus zwei Kalotten, in diesem Fall den Kugelhälften.
Da kann man noch so genau die Dichte wissen, es geht nicht.
Jochen
, wenn ich behaupte, daß man
das mit diesen Angaben eindeutig sagen kann?"
Na, und wenn ich diese Angabe nicht habe, dann kann ich das doch schnell selber beweisen, dass dem so ist, oder. Dann gehts auch ohne diese Angabe.
Gruß
Stefan
, wenn ich behaupte, daß man
das mit diesen Angaben eindeutig sagen kann?"Na, und wenn ich diese Angabe nicht habe, dann kann ich das
doch schnell selber beweisen, dass dem so ist, oder. Dann
gehts auch ohne diese Angabe.
…na ich denke, mehr als eine Abhängigkeit des Gewichts vom Lochdurchmesser wird man mit den Originalangaben nicht erreichen können.
Erst mit der „zusätzlichen Bedingung“ der eindeutigen Lösbarkeit, kann es nur noch genau eine Lösung geben, die allerdings in dem realen Gewand der Aufgabe etwas herbeigewunken wirkt ;-}
eljot
Glaubt es niemand???
Und hier die Lösung:
r=Kugelradius
R=Lochdurchmesser
h=Höhe des weggeschnittenen Kugelabschnittes
####--------------#### ----
##### ##### |
###### ###### | 1cm = 10mm
###### ###### |
##### ##### |
####--------------#### ----
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Volumen der Kugel: 4.r³.¶/3
Volumen des Kugelabschnittes: ¶.h².(r-h/3)
Volumen des Loches: R².¶.10mm
------\> Volumen des Restkörpers:
Kugel 2 x Kugelabschnitt Loch
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V = 4.r³.¶/3 - 2.¶.h².(r-h/3) - R².¶.10
h = r - 5mm
R² = r² - 5²
V = 4.r³.¶/3 - 2.¶.(r-5)².(r-(r-5)/3) - (r²-5²).¶.10
= 4.r³.¶/3 - 2/3.¶.(r-5)².(2.r+5) - (r²-5²).¶.10
= 2.¶/3.{2.r³-(2r³-15r²+125)-(15.r²-375)}
= 2.¶/3.250 (und kein r)
= 523.5987756mm³
wzbw
lag
Stimmt, das Volumen des weggebohrten Kugelmaterials bildet
sich ja aus einem Zylinder und zwei Kalotten.
Je größer der Durchmesser wird, desto kürzer wird das Loch.
Erreicht der Lochdurchmesser den der Kugel
Dieser Grenzfall ist ausgeschlossen, da ja die Länge des Loches mit 1cm angegeben ist.
Es gibt nur eine Grenzbedingung:
Kugeldurchmesser größer als 1cm
je größer der Kugeldurchmesser, desto größer auch der Durchmesser des Loches, aber um so dünner wird die Wanddicke des übriggebliebenen Ringes.
Rechne einfach einmal nach mit verschiedenen Kugelradien und du wirst sehen, dass immer das gleiche Restvolumen übrigbleibt.
schönen kopfschmerzenden Aschermittwoch
Guldinsche Regel!
Hi allerseits,
man kann sich ja den übrig bleibenden Ring vorstellen. Aufgeschnitten sieht man einen Kreisabschnitt (Sektor).
Nun ist das Ringvolumen (mal rho wird’s die Masse) die Fläche dieses Sektors mal Weg (hier Kreisbahn) des Flächenschwerpunktes. (Guldinsche Regel)
Nach Dubbel ist der Flächenschwerpunkt von der Bohrungsmitte y0 = s³/(12 mal A) entfernt, wobei s die 10 mm sind (Länge der Sektorgeraden) und A die Fläche des Sektors ist. Also ist der Schwerpunktsweg = y0 mal 2 mal Pi. Damit wird das Volumen V = A mal y0 mal 2 mal Pi.
y0 hat A im Nenner, das wird also nicht mehr gebraucht! Nach Kürzung bleibt für das Volumen V = Pi/6 mal s³.
Mit anderen Worten: Das Ringvolumen ist völlig unbhängig vom Radius des Sektorbogens bzw. vom Abstand der Sektorgeraden zum Bogenmittelpunkt, sondern nur von der Länge der Sektorgeraden, hier also von der Länge des Loches!
Gruß
Pat
…na ich denke, mehr als eine Abhängigkeit des Gewichts vom
Lochdurchmesser wird man mit den Originalangaben nicht
erreichen können.
Also, Ich nehem zuerst die Funktion f(x)=sqrt(R*R - x*x) Diese Funktion beschreibt den Querschnitt einer Kugel mit Radius R. Also, die x Achse ist die Achse zweischen Nord- und Südpol und f(x) ist der Abstand der Erdoberfläche von der Erdachse für den Punkt x auf der Erdachse. Bei x=-R ist der Südpol und bei x=R ist der Nordpol.
Das gesuchte Volumen nenne ich V.
Das setzt sich zusammen aus dem Volumen V1. Das ist das Volumen der Kugel, wenn ich die Polkappen abschneide und zwar genau bei x=-h/2 und x=h/2. (Sorry, dass dabei ausgerechnet die wichtigsten Kokosnussanbaugebiete verloren gehen.)
Diese Volumen ist aber zu groß, denn da muss ich noch das Loch durchbohren. Das heißt, ich muss vom Volumen V1 noch ein Volumen V2 abziehen. Volumen V2 ist ein Zylinder der Höhe h und mit Radius r=sqrt(R*R - h*h/4). Damit ist
V2= pi*h*R*R - pi*h*h*h/4.
Jetzt erstmal zu V1.
V1= integral von x=-h/2 bis x=h/2 von (f(x)*f(x)*pi) dx
Jetzt spare ich mir ein paar Zwischenschritte und komme zu:
V1= pi*R*R*h - pi*h*h*h/12
Und damit:
V = V1 - V2
V = pi*h*R*R - pi*h*h*h/4 -(pi*h*R*R - pi*h*h*h/4)
V= pi*h*h*h/6
V ist also unabhängig vom Kugelradius und das kann ich Beweisen, ohne dass ich die zusätzliche Angabe brauche.
Nebenbei bekomme ich auch noch die Formel, um das Volumen auszurechnen.
Gruß
Stefan
Hallo
Hi Andreas…
sicher stehe ich - wie andere - hier auf der Leitung
Na dafür ist man doch bei wer-weiss-was, oder? 
Die Zylinderhöhe setze ich gleich mit dem Durchmesser der
Kugel, abzüglich der Kugelabschnittshöhen. Dann wäre es aber
schon wichtig, den Durchmesser des Zylinders zu wissen.
Nö, der ist absolut egal, weil - wie in lag´s Rechnung einwandfrei ersichtlich ist - der Zylinderradius auf das verbleibende Restvolumen keinen Einfluss hat.
Anders ausgedrückt: es ist ein Unterschied, ob ich einen
haarfeinen Bohrer nehme - dann ist das Kugelgewicht nahezu
unverändert…
Das ist richtig…wenn die Bohrerdicke gegen Null geht, bohrst Du im Endeffekt eine Stahlkugel mit einem Durchmesser, der gegen 10mm geht und eine infinitesimal kleine Bohrung hat.
oder nehme ich einen dicken Bohrer mit dem
Durchmesser der Kugel, dann bleibt von der Kugel nix mehr
übrig !
Auch korrekt…stell Dir eine riesige Stahlkugel von einem Meter Durchmesser vor…da brauchst Du einen riesigen Bohrer (mit dem Radius rBohrer=Wurzel(rKugel² - (5mm)² = Wurzel((500mm)² - (5mm)²) = 499,975mm), damit anschließend ein Stahlring mit 10mm Breite und einer äußerst geringen Wandstärke (im Beispiel nur 0,025mm!!) übrigbleibt…
Oder wie ?
Und das Volumen aller dieser gleichbreiten Stahlringe - die aber alle einen unterschiedlichen Durchmesser haben - ist eben gleich.
Gruß Andreas
Gruß, Flox
Hallo Flox
danke, danke, danke … )
lags Rechengang hat mich ja bereits überzeugt !!!
Der Gedankenfehler lag einfach darin, dass die Lochlänge und nicht die Bohrerlänge vorgegeben war. Dann sähe es alles anders aus, da dann R=r werden kann …
Tschüss Andreas