Lösbarkeit einer DGL

[xaph]

Hi,
ich hänge gerade an folgender Aufgabe:
Die DGL

y’’’-2y’’+y’-2y=0

besitzt folgendes Fundamentalsystem

y1(x)=e^2x; y2(x)=sin(x); y3(x)=cos(x)

Für welche c besitzt das RWP eine eindeutige Lösung:
y’(0)=2y(0); y’’(0)=y(0); y’’(pi)=-c*y(pi)

Ich weiss gar nicht wie ich hier herangehen muss, in unserem Skript haben wir stehen, dass ein RWP eine eindeutige Lösung besitzt wenn det®=/ 0 ist.
Für R=(z1(a),z2(a),z3(a); z1(b),z2(b),z3(b)… usw.)
Soweit ich das jetzt richtig verstanden habe erhalte ich das z durch umformen in eine homogene DGL und ermitteln eines Fundamentalsystems, aber wir haben ja bereits ein Fundamentalsystem gegeben und die Gleichung ist auch homogen, oder nicht? Heisst das ich muss lediglich die 3 gegebenen Lösungen in die Randbedingungen einsetzen,daraus meine R- Matrix bilden und deren Determinante berechnen?Dann würde ich das „c“ ja gar nicht beachten?!
Ich muss dazu erwähnen das mein Wissen bzgl. DGL nicht sehr umfangreich ist, wie man bestimmt merkt

[Hendrik_70c5fb]

Hi,

Hallo

y’’’-2y’’+y’-2y=0

besitzt folgendes Fundamentalsystem

y1(x)=e^2x; y2(x)=sin(x); y3(x)=cos(x)

Für welche c besitzt das RWP eine eindeutige Lösung:
y’(0)=2y(0); y’’(0)=y(0); y’’(pi)=-c*y(pi)

Die allgemeine Lösung der DGL ist eine Linearkombination der Lösungen des Fundamentalsystems, also

y(x)=k₁e^2x+k₂sin(x)+k₃cos(x).

Daraus folgt

y(0)=k₁+k₃
y’(0)=2k₁+k₂
y’’(0)=4k₁-k₃

Die Bedingung y’(0)=2y(0) ergibt k₂=2k₃.
Die Bedingung y’’(0)=y(0) ergibt k₃=³/₂k₁.

Zusammen mit der ersten Bedingung erhälst du daraus k₂=3k₁.

Die allgemeine Lösung der DGL hat also die Form

y(x)=k₁(e^2x+3sin(x)+³/₂cos(x)).

Die Bedingung y’’(π)=cy(π) liefert jetzt

k₁(4e^2π+³/₂)=ck₁(e^2π-³/₂).

Falls k₁=0, dann ist y identisch 0, und eine Lösung des RWP für alle c.
Falls k₁≠0, dann kannst du durch k₁ teilen und dann nach c auflösen.

Gruß

hendrik