Lösen einer Lagrange Funktion

Wissenschaft Mathematik
#1

Zielbedinung: K(x,y)=x²+2y²+xy
Nebenbedingung: 0=8-x-y

Ich weis das die Lösung x=5 y=3 und λ=7 sein muss, allerdings komme ich auf y=2 und somit verändern sich alle anderen Werte. Kann mir einer von euch helfen und mir vielleicht die Rechnung aufschreiben?

Danke!

#2

Zielbedinung: K(x,y)=x²+2y²+xy
Nebenbedingung: 0=8-x-y

Hallo,

heißt das, dass du K(x,y) minimieren willst unter der Nebenbedingung 0=8-x-y?
die Lagrangefunktion ist dann L(x,y,λ)=K(x,y)-λ(8-x-y). Der Gradient der Lagrangefunktion muss 0 sein, was dir folgende Gleichungen liefert.

2x+y+λ=0
x+4y+λ=0
x+y=8

Das lässt sich relativ einfach lösen.
Falls du K(x,y) maximieren willst, ist die Lagrangefunktion L(x,y,λ)=-K(x,y)-λ(8-x-y).

Gruß

hendrik

#3

K(x,y) soll minimiert werden. Wie würden dann deine Lösungen aussehen?
Schonmal vielen Dank

#4

Zielbedinung: K(x,y)=x²+2y²+xy
Nebenbedingung: 0=8-x-y

Ich weis das die Lösung x=5 y=3 und λ=7 sein muss, allerdings
komme ich auf y=2 und somit verändern sich alle anderen Werte.

K(5,3) = 25 + 18 + 15 = 58

y = 2 => x=6
K(6,2) = 36 + 8 + 12 = 56

#5

K(x,y) soll minimiert werden. Wie würden dann deine Lösungen
aussehen?

Du hattest doch am Ende ein lineares Gleichungssystem, das wirst du wohl noch lösen können.

mfg,
Ché Netzer

#6

Die Lösungen sind von meinem Prof. ich selbst hatte ja was anderes raus und mich gewundert wie man auf diese Ergebnisse kommt.

#7

Die Lösungen sind von meinem Prof. ich selbst hatte ja was
anderes raus und mich gewundert wie man auf diese Ergebnisse
kommt.

Das wundert mich jetzt aber auch…
Wenn du die Funktion nicht falsch abgeschrieben hast, dürfte y=2 stimmen:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=2x%2By-%CE%BB%3…
Vielleicht hat der Professor die Aufgabe nochmal geändert und die Lösung einfach übernommen. Oder er hat sich verrechnet, kann auch vorkommen. Bei uns wurde mal folgendes angeschrieben:
f(t) = (cos(t); sin(t); t )
f’(θ) = (-sin(θ); cos(θ); θ )
(Nur halt in vernünftiger Vektorschreibweise…)
Stand auch so im Skript :wink:

mfg,
Ché Netzer

#8

Vielen Dank, ich werde meinen Prof. bei der nächsten Vorlesung drauf ansprechen! Danke!