ich stehe vor dem Problem, folgendes Gleichungssystem lösen zu wollen:
f(x) = A*x^m + B*x^n
ich habe also 4 Unbekannte und brauche 4 Gleichungen. Dazu gebe ich also 4 Punkte an, durch die die resultierende Kurve laufen soll und setze ein. Auf welchem Wege (analytisch oder numerisch) kann man die Parameter erhalten? Ich hatte eigentlich nur das Newtonverfahren zur Lösung nicht-linearer Gleichungssysteme ausprobiert (Approximation mit inverser Jakobimatrix), aber dieses Verfahren konvergiert nicht.
ich habe also 4 Unbekannte und brauche
4 Gleichungen. Dazu
gebe ich also 4 Punkte an, durch die
die resultierende Kurve
Ich bin für jeden Lösungsansatz dankbar!
Gruß
Alexander
Hallo Alexander !
Bei vier gegebenen Punkten kann das Polynom höchstens Grad 3 haben. Sollte m=n sein gehts recht einfach:
y1=x1^m(A+B)=C*x1^m mit C=A+B,
also C=y1/(x1^m)
Dann y1-y2=C(x1^m-x2^m),
und nach m aufgelöst:
m=(log y2-log y1)/(log x2-log x1)
Wahrscheinlich bekommst du bei einer Probe mit den beiden restlichen Punkten raus, dass sie nicht auf dem Polynom liegen dass also m ungleich n ist. Dann kannst du ohne Einschränkung annehmen, dass m>n also z.B. m=3, n=2 (die anderen Fälle kriegst du bestimmt locker alleine hin).
Also:
yi=A*xi^3+B*xi^2 für i=1,…,4
Dann gilt: y2-y1=A*(x2^3-x1^3)+B*(x2^2-x1^2)
Da kann man A durch B ausdrücken und das dann oben einsetzen um B rauszukriegen. Dann kriegst du auch A raus und fertig ist das Polynom !