Es handelt sich um diese DGL:
(d^3y/dx^3)-(3/x)*(d^2y/dx^2)+(6/x^2)*(dy/dx)-(6/x^3)*y(x)=0
mit dem Ansatz y=x^α ; und als Lösungsansatz y=e^kx
ich weiß nicht wie ich die nullstellen davon berechnen kann:
x^3-3x+(6/x^2)*x-(6/x^3)=0
Es handelt sich um diese DGL:
y’’’(x)-\frac{3}{x},y’’(x)+\frac{6}{x^2},y’(x)-\frac{6}{x^3},y(x)=0
mit dem Ansatz y=x^α ; und als Lösungsansatz y=e^kx
ich weiß nicht wie ich die nullstellen davon berechnen kann:
x^3-3x+(6/x^2)*x-(6/x^3)=0
Hi,
Antwort: Gar nicht. Denn der Exponentialansatz ist hier nicht möglich (und außerdem falsch eingesetzt), er ist nur bei konstanten Koeffizienten zulässig.
Den richtigen Ansatz y=x^α für eine Eulersche Differentialgleichung hast Du doch schon hingeschrieben, diesen musst Du noch in die Differentialgleichung einsetzen.
Nach dem Einsetzen erhälst Du wieder ein kubisches Polynom in α, von dem man dann hoffentlich eine Lösung raten kann, danach dann mit Polynomdivision zu einem quadratischen Polynom.
Näherungswerte, die zur Lösung meist nicht ausreichen, kann man numerisch finden, z.B. mit
http://www.akiti.ca/PolyRootRe.html
Guten Rutsch,
Lutz Lehmann
Hallo Daniel,
wenn Du y=x^\alpha in Deine DGL einsetzt, erhältst Du:
\alpha\cdot(\alpha-1)\cdot(\alpha-2)\cdot x^{\alpha-3}
-\frac{3}{x}\cdot\alpha\cdot(\alpha-1)\cdot x^{\alpha-2}
+\frac{6}{x^2}\cdot\alpha\cdot x^{\alpha-3}
-\frac{6}{x^3}\cdot x^{\alpha-3}
= 0
\Longleftrightarrow
\left(\alpha^3-6\alpha^2+11\alpha-6\right)\cdot x^{\alpha-3}
=0
Man muß also die Nullstellen des Polynoms dritten Grades in \alpha finden.
(Wenn man z.B. eine erraten kann, kann man Polynomdivision durchführen.)
\Rightarrow
(\alpha-1)\cdot(\alpha-2)\cdot(\alpha-3)=0
Die Lösung lautet also y(x) = Ax + Bx^2 + Cx^3.
Der Ansatz y = {\rm e}^{kx} führt zu
k^3 -\frac{3k^2}{x} + \frac{6k}{x^2} - \frac{6}{x^3} = 0
was offenbar nicht mit einer Konstante k gelöst werden kann.
Schöne Grüße,
Manfred
Ich fürchte, ich kann Dir da nicht helfen; die Lösung der DG ist
y(x) = c1 * x³ + c2 * x² + c3 * x
Aber wie Du das händisch ermittelst, weiss ich nicht.