Guten Tag allerseits
Hat jemand eine Ahnung, wie man diese DG löst?
y’’ = -y^(-3)
Ich habs mal mit Integrieren versucht, hab mich da aber irgendwie verheddert, weil ich nicht wusste, ob ich auf der rechten Seite nach x oder nach y Integrieren sollte.
Man könnte ein System von DG 1. Ordnung daraus machen (?), aber das übersteigt das Niveau der Aufgaben (Ich erstelle gerade „Musterlösungen“).
Hat jemand ne Idee, wie man da sonst noch Ansetzten könnte?
Vielen Dank
Charly
Auch guten Tag.
Hat jemand eine Ahnung, wie man diese DG löst?
y’’ = -y^(-3)
Also y’’(x) = - y(x)^3
Da könnte ein Ansatz wie e^x oder mit sin(x) oder cos(x) evtl. weiterhelfen
Ich habs mal mit Integrieren versucht, hab mich da aber
irgendwie verheddert, weil ich nicht wusste, ob ich auf der
rechten Seite nach x oder nach y Integrieren sollte.
Nach x
Man könnte ein System von DG 1. Ordnung daraus machen (?),
Also substituieren, Lösung errechnen, Substitution zurücknehmen
Eine Formelsammlung wie der Bronstein/Teubner könnte hier eine Inspiration liefern.
HTH
mfg M.L.
Hallo Charly,
y’’ = -y^(-3)
das ist ein Fall für den „Reduktion der Ordnung“-Ansatz („betrachte y’ vorübergehend als Funktion von y: y’ =: p(y) → y’’ = p’(y) y’ = p p’“):
p p’ = –1/y³
Lösung via „Integration durch Separation der Variablen“:
p dp/dy = –1/y³
p dp = (–1/y³) dy
Die Integration liefert (C = Integrationskonstante, klar)
p(y) = sqrt(1/y² + C)
Das ist durch eine weitere Integration durch Separation der Variablen zu bewältigen:
dy/dx = sqrt(1/y² + C)
y/sqrt(1 + C y²) dy = dx
… (Stammfunktion aus Bronstein + einige Zeilen Umformerei + zweite Integrationskonstante „D“)
y(x) = sqrt(C (x + D)² – 1/C)
Das Probe-Machen überlass ich Dir (die Lösung stimmt).
Mit freundlichem Gruß
Martin
PS: Ein eλ x- oder sin(x)- oder cos(x)-Ansatz ist hier natürlich völlig fehl am Platz, weil die DG nicht linear ist.
Es hat klick gemacht 
Danke sehr