Hallo zusammen. Kann mir jemand zumindest im Ansatz dabei helfen, wie ich folgende Differenzialgleichung löse?
m*y"+k*(y’)²=u
also m, k und u sind Konstanten. Normal kann ich die auch lösen, aber ich weiß nicht wie ich an (y’)² herangehen soll.
Besten Dank im Voraus und viele Grüße
Max
Hallo Max.
m*y"+k*(y’)²=u
Zuerst wirfst Du eine Konstante heraus. Z. B. dividieren wir die Gleichung durch u und nennen a = m/u und b = k/u. Dann bekommen wir
ay’’ + b(y’)^2 = 1
Sodann benennen wir y’ in z. B. z um und erhalten
az’ + bz^2 = 1.
Die Variable nennen wir z. B. t, also z = z(t) und z’ = dz/dt. Das ergibt
a\frac{dz}{dt} + bz^2 = 1
\qquad \Leftrightarrow \qquad
a\frac{dz}{dt} = 1 - bz^2
oder nach Separation der Variablen
\frac{a}{1 - bz^2},dz = dt
Die anschliessende Integration gelingt Dir vermutlich eigenstaendig.
Viele Gruesse,
TN
Das war sehr ausführlich, besten Dank.
m*y"+k*(y’)²=u
Hallo,
diese DGL hat übrigens auch eine ganz einfache Lösung
y(x)=\sqrt{\frac{u}{k}}x+c
Falls u=0, gibt es noch die Lösung
y(x)=\frac{m}{k}\ln(\mid x+c_1\mid)+c_2
Gruß
hendrik