f(n) = 0.5*( N(n) + S + K - WURZEL( (N(n)+S+K)^2 - 4*S*N(n) ) )
wobei
N(n) = A*r^n
Rechenzeichen: *: Multiplikation; ^: Potenz
Problem: Ich such n für die Nullstellen der 3. Ableitung von f nach n (letzlich will ich das Krümmungsmaximum bestimmen):
d^3 f(n) / d(n)^3 = 0
Das ist mit alles selbst viel zu kompliziert, daher habe ich versucht, MathCAD 5.0 für mich arbeiten zu lassen, aber das findet keine Lösung…
Möglicherweise gibt es ja einen eleganten Trick, bulliges Know-How oder ein anderes Tool, welches dieses Problem lösen kann ? Oder es ist prinzipiell nicht lösbar, das ist auch gut, aber dann brauchte ich den Beweis für die Unlösbarkeit…
f(n) = 0.5*( N(n) + S + K - WURZEL( (N(n)+S+K)^2 - 4*S*N(n) )
)
wobei
N(n) = A*r^n
Das würde ich direkt einsetzen, ist doch nicht soo kompliziert.
Problem: Ich such n für die Nullstellen der 3. Ableitung von f
nach n (letzlich will ich das Krümmungsmaximum bestimmen):
d^3 f(n) / d(n)^3 = 0
Also, die vorderen Glieder werden spätestens bei der 2. Ableitung sowieso zu Null, der Faktor 0,5 ist für die Nullstellen auch uninteressant.
Es bleibt also nur die Wurzel abzuleiten. Das geht nach Kettenregel. Ob das lösbar ist, kann ich so aber auch nicht überblicken.
Sicher, dass A*r^n nach der 2. Ableitung 0 ist? Setz doch z.B.
mal A=1, r=2, also 2^n 2mal ableiten. Das ist doch eindeutig
nicht 0!
Upps! Du hast natürlich recht. Ich hatte das „^“ übersehen.
Ein Versuch wäre vielleicht, die ganze Formel in MAthematica einzugeben.
Ableitungen hab ich da noch nicht probiert, aber das müsste schon funktionieren.
Es gibt auch noch andere Algebra-Programme, aber das ist mir von der Bedienung und der Darstellung her am angenehmsten.
Demo-Version gibts im Net: www.wolfram.com
Offenbar kann nicht jeder Summand für ein n 0 werden, da es im Exponenten „bleibt“ und gegenseitiges aufheben geht anscheindend nicht.
Andererseits: Schon mal fleißig R^n’s ausgeklammert? Führt das auch zu nix?
Danke für die Hilfe. Ich verstehe das Ergebnis-Format nicht ganz (kenne Maple nicht). Was heißt n=n, … ?
Kann Maple beweisen, daß es keine Lösung gibt ? Das Problem ist dann nur: Schaue ich mir das grafisch an, hat die 3. Abl. sehr wohl Nullstellen.
Ich habe auch nach besten Möglichkeiten ganz fleißg mal umgestellt und faktorisiert und ausgeklammert und entwickelt, aber hilft ja alles nicht weiter…
solche Gleichungen lassen sich normalerweise leicht numerisch lösen. Zwar nicht auf unendliche Genauigkeit, aber doch auf einige Dezimalen.
Falls kein Computeralgebra-System -wie Maple oder Mathematica- zur Verfügung steht, kannst Du auch die sukzessive Approximation ausprobieren. Ist für Dich leicht zu programmieren, z.B. in VisualBasic (das hast Du übrigens auch in Excel als VBA verfügbar). Oder Du machst das auf dem Papier mit dem Taschenrechner. Das geht bei dieser Methode sehr einfach, und zwar folgendermaßen:
Löse die Gleichung nach einem der n auf und verwende diese Gleichung, die dann lautet n=… als sog. Iterationsvorschrift. in praxi heißt das Du schaust Dir den Graphen an und schaust, wo in etwa eine Nullstelle auftritt. Dieses „geschätzte“ n setzt Du in die Iterationsvorschrift n=… ein und berechnest so ein neues n, das Du wieder in dieselbe Iterationsvorschrift einsetzt … Du wirst merken, daß das n sich sehr bald nur noch sehr langsam verändert, d.h. Du erhälst dann einen hinreichend genauen Wert für das gesuchte n.
Zur Probe würde ich diesen Wert inn die Ausgangsgleichung einstzen und gucken, obs stimmt!
Dieses Verfahren funktioniert natürlich nicht immer, aber oft. Du merkst aber ob es geht, weil der Wert sonst in der Gegend herumschwirrt und nicht konvergiert.
ich versuche nur zu beweisen, daß es für n theoretisch ein Lösung gibt (oder eben nicht) und herauszufinden, wie n dann (im Falle der Lösbarkeit) von den anderen Parametern abhängt (insbesondere will ich Zeigen, daß/ob log(A) = m*n+b, wobei m und b irgendwelche Terme sind, also ob ein Auftrag log(A)gegen n linear ist).
Danke für die Hilfe. Ich verstehe das Ergebnis-Format nicht
ganz (kenne Maple nicht). Was heißt n=n, … ?
Bedeutet, daß du alle Variablen die sich selbst gleich gesetzt werden, beliebig sein können und eine Nullstelle in den anderen vorliegt.
Kann Maple beweisen, daß es keine Lösung gibt ?
Natürlich nicht. Ich weiß auch nicht, was MAPLE alles überprüft. Kann auch sein, daß es die Parameter immer nur einzeln untersucht hat und nicht alle gegenseitig. *schulterzuck*
Das Problem ist dann nur: Schaue ich mir das grafisch an, hat :die 3. Abl. sehr wohl Nullstellen.
Vereinfachend und prinzipiell immer noch richtig kann man auch folgende Werte annehmen:
A = 1
K = 1E10
S = 1
r = 2
Die Daten erhalte ich aus einem logistischen Wachtumsprozess mit der Wachstumsrate r, S ist ein limitierendes (aber recyclebares) Substrat, A die Ausgangsmenge eines Reaktionspartners (N) des Substrats. K ist eine Gleichgewichtskonstante der Komplexbildung. Die Massenwirkungsbeziehung wurde nach dem Komplex [NS] aufgelöst. Ich habe Meßdaten, die durch dieses Modell gefittet werden. Es geht um die prinzipiellen Nachweis, ob es möglich oder unmöglich ist, anhand der Lage des Krümmungsmaximums (bei n=x(A)) eine Quantifizierung von A möglich ist (oder genauer: ob log(A) versus x(A) auf einer Geraden liegen).