Lösung von Differenzengleichung

Melanie_2b20b8 · 10. Februar 2001 um 12:27

Hallo,
wie löse ich folgende Aufgabe:
Gebe die Menge aller Lösungen der Differenzengleichung x_t+2-3x_t+1+2x_t=12*(-1)^t explizit an.
Ich hab’ dazu nichts gefunden.

Melanie

schmackes · 10. Februar 2001 um 12:32

Hallo Melanie,

Deine Schreibweise ist etwas verwirrend. Gib doch mal an was sind die t? wonach wird differenziert?

Max

[Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]

Melanie_2b20b8 · 10. Februar 2001 um 12:48

Hallo,
wie löse ich folgende Aufgabe:
Gebe die Menge aller Lösungen der Differenzengleichung
x_t+2-3x_t+1+2x_t=12*(-1)^t
explizit an.
Ich hab’ dazu nichts gefunden.

Melanie

Hallo Melanie,

Deine Schreibweise ist etwas verwirrend. Gib doch mal an was
sind die t? wonach wird differenziert?

Max

Hallo,
ich hab’ leider nur diese schreibweise:wink:. Es handelt sich hierbei um eine dynamische Gleichung 2. Ordnung. Aber ich habe nur eine Formel für t-2 und nicht für +2. t ist dabei die Zeit.

Melanie

Anonym · 10. Februar 2001 um 14:58

Hallo,
ich hab’ leider nur diese schreibweise:wink:. Es handelt sich
hierbei um eine dynamische Gleichung 2. Ordnung. Aber ich habe
nur eine Formel für t-2 und nicht für +2. t ist dabei die
Zeit.

Hi!
Mit einer Z-Transformation könnte man da weiterkommen, allerdings fehlen die Anfangsbedingungen - z.B. x₀=1 und x₁=-sqr(5) oder so was.
Gruß Tyll

Melanie_2b20b8 · 10. Februar 2001 um 16:34

Hi!
Mit einer Z-Transformation könnte man da weiterkommen,
allerdings fehlen die Anfangsbedingungen - z.B.
x₀=1 und x₁=-sqr(5) oder so was.
Gruß Tyll

Hallo,
danke für Deine schnelle Antwort. Wie würde es denn gehen, wenn man den Anfangswert x(0)=0 hätte? Kannst Du mir die Z-Transformation erklären?

Gruß
Melanie

Anonym · 11. Februar 2001 um 07:49

Hallo Melanie,

verrate doch mal, wo Du welchen Mathekurs hörst. Dann könnte man Dir vielleicht auch etwas gezielter hinsichtlich Deiner Vorkenntnisse antworten. Hast Du vielleicht einen Link auf das Übingsblatt, das Du gerade bearbeitest?

Sherlock

Melanie_2b20b8 · 11. Februar 2001 um 12:56

Hallo,
ich versuche gerade die Klausurensammlung für Mathe III im BWL-Grundstudium an der Uni Bielefeld zu lösen (leider nicht online). Bei den meisten Aufgaben habe ich da keine Probleme. Auch Anfangswertprobleme weiß ich zu lösen. Allerdings ist hier ja nach der Menge aller Lösungen gefragt, also x(0)=(n₁ |n₂). Was ich jetzt nicht beherrsche sind Differenzengleichungen mit t+2. Ich habe hier eine Lösungsformel für z_k=b₁z_k-1+b₂z_k-2. Da weiß ich, daß ich ein System 1. Ordnung aufstellen muß und das ist dann auch kein Problem mehr. Wie geht das allerdings bei k+2? Wie sieht dort das System 1. Ordnung aus?

Gruß
Melanie

[Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]

Anonym · 12. Februar 2001 um 19:11

Wenn ich mich nicht verrechnet habe, hier ein kurzer Rechenweg:

X_t+2 - 3X_t+1 + 2X_t = 12 (-1)^t

Homogene Lösung:

X_h,t = a*z^t

charakeristische Gleichung:

z² - 3z + 2 = 0
z1=1 und z2=2

Daraus folgt:

X_h,t = a₁ + a₂ 2^t

Partikuläre Lösung:

X_p,t = b (-1)^t

in obige Differenzengl. eingesetzt:

b(-1)^t+2 - 3b(-1)^t+1 + 2b(-1)^t = 12 (-1)^t
b(-1)^t + 3b(-1)^t + 2b(-1)^t = 12 (-1)^t

Koeffizientenvergl. liefert:
b=2

Allgemeine Lösung lautet also (modulo Rechenfehler):

X_t = X_hom + X_part = a₁ + a₂ 2^t + 2(-1)^t

Viele Grüße
Frank

[Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]