Hallo zusammen,
ich bin ein absoluter Mathenurd.
Ich schlage mich so durch und gerate gerade in meinem Studium an meine Grenzen.
Ich soll folgenede Aufgabe lösen und weiß einfach nicht wie es geht, vielleicht kann mir ja hier jemand helfen.
Mein Problem
log2(x − 2) + 2 log4(x) = 3
Ich soll diese Gleichung mit Hilfe der Log Gesetze lösen und ich finde noch nicht mal einen Ansatz.
Bitte um Hilfe.
Danke im voraus.
Hallo,
log2(x − 2) + 2 log4(x) = 3
Ich soll diese Gleichung mit Hilfe der Log Gesetze lösen und
ich finde noch nicht mal einen Ansatz.
mein Zwischenziel wäre, die beiden Logarithmen zu einem zusammenzufassen. (Ab dort könnte man dann durch Exponentiation den Log. entfernen und die Lösungen bestimmen.)
Zum Zusammenfassen braucht man die Log.-Gesetze. Zunächst würde ich den Faktor 2 in den log4 hineinziehen (ein Gesetz), um dann die Summe der beiden Logarithmen anzugehen (noch ein Gesetz). Wie du richtig erkannt hast, braucht man dafür gleiche Basen; deshalb würde ich mich an das Gesetz erinnern, mit dem man einen Logarithmus von einer Basis in eine andere umrechnet.
Also dein Schlachtplan:
Viel Erfolg,
Andreas
Hossa 
Wir brauchen folgende Logarithmus-Gesetze:
\mbox{(A)}\qquad\log_b(a)=\frac{\log(a)}{\log(b)}
\mbox{(B)}\qquad\log\left(a^b\right)=b\cdot\log(a)
\mbox{©}\qquad\log\left(a\cdot b\right)=\log a + \log b
wobei die log-Funktion jede beliebige zulässige Basis haben kann.
Bei deinem Problem:
\log_2(x-2)+2\log_4(x)=3
schreiben wir zunächst mit (A) die jeweilige Basis in den Nenner:
\frac{\log(x-2)}{\log2}+2\cdot\frac{\log x}{\log 4}=3
Nun nutzen wir (B) und berechnen:
\log(4)=\log\left(2^2\right)=2\cdot\log(2)
Dies setzen wir oben ein und erhalten:
\frac{\log(x-2)}{\log2}+2\cdot\frac{\log x}{2\log 2}=3
\frac{\log(x-2)}{\log2}+\frac{\log x}{\log 2}=3
\log(x-2)+\log x=3\cdot\log 2
Nun wird © auf die linke Seite und (B) auf die rechte Seite der Gleichung angewendet:
\log\left[(x-2)\cdot x\right]=\log\left(2^3\right)
Lässt man nun die Logarithmus-Funktionen auf beiden Seiten weg und rechnet die Argumente aus, erhält man eine quadratische Gleichung:
x^2-2x=8
x^2-2x-8=0
(x+2)\cdot(x-4)=0
Von den beiden Lösungen x=-2 und x=4 kommt nur die positive in Frage, weil der Logarithmus einer negativen Zahl nicht definiert ist, also:
x=4
Viele Grüße
Hasenfuß