hallo zusammen,
habe eine frage. wie geht man am besten an eine gleichung der art dran?:
P(z)=z^6+4z^4+z^2+4
z_1=2i sei bekannt.
Bestimmen Sie über dem Körper C alle weiteren Nullstellen und geben Sie jeweils deren Real- bzw Imaginärteil an.
Wie geht man da dran? Horner Schema? Polynomdivision?
Vielen Dank im Voraus.
Moin,
habe eine frage. wie geht man am besten an eine gleichung der
art dran?:P(z)=z^6+4z^4+z^2+4
z_1=2i sei bekannt.
Erster Schritt: substituiere y = z².
Eine Gleichung 3. Grades ist sehr viel angenehmer zu lösen.
Grüße,
Moritz
danke dir für deine antwort. dadurch wird die gleichung einfacher:
x^3+4x^2+x-4=0
wenn ich nun aber mit der polynomdivision durch (x-2i) teile, wirds total kompliziert. ist das denn richtig mit (x-2i)? also müsste das klappen?
gruß
[Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]
hi,
der rat von moritz war leider nicht ideal. im prinzip ist die substitution mit dem quadrat oft sehr nützlich, aber nicht hier, denn
in der gleichung
x^3+4x^2+x+4=0
ist 2i nämlich keine lösung mehr.
wenn 2i eine lösung der komplexen ausgangsgleichung ist, die eine mit reellen koeffizienten ist, dann muss auch die konjugiert-komplexe (also -2i) eine lösung sein.
du kannst dann durch (z + 2i)*(z - 2i) = z² + 4 durchdividieren und bekommst
(z^3 + 4z^2 + z + 4) : (z^2 + 4) = z^4 + 1
und in diesem letzten term stecken die nächsten 4 lösungen:
z^4 + 1 = 0
bzw.
z^4 = -1
hth
m.