Hi Mathe Freaks!
Wieso ist die 1. Ableitung der oben aufgeführten Funktion
f`(x) = 2xex (1+x)
Danke!
Markus
Hallo!
Ich geh mal davon aus, dass deine Funktion f(x)= 2*x*e^x heißen soll. Somit handelt es sich um ein Produkt aus den Faktoren 2x und e^x und beim Ableiten wird die Produktregel angewendet, welche lautet:
f(x) = u(x) * v(x), dann ist
f´(x) = u´(x)*v(x) + u(x)*v´(x)
In deinem Fall ist u(x)=2x und somit u´(x)=2, v(x)=e^x und somit v´(x)=e^x (am Ergebnis ändert sich nichts, wenn du u(x)=e^x und v(x)=2x setzt…)
Eingesetzt in die Produktregel ergibt das dann:
f´(x) = 2*e^x + 2x*e^x oder ein wenig umgeschrieben:
f´(x) = 2e^x * (1+x) (in deiner Lösung war vor der Klammer ein x zuviel…)
Schönen Gruß
Andre
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Stufenleiter
Hi Markus und André, hallo, Leute!
Und wenn man y = x*e^x einmal ableitet, ergibt sich also
y´ = (x+1)*e^x, und wenn man´s nochmal ableitet,
y´´ = (x+2)*e^x, und dann y´´´ = (x+3)*e^x AUFFÄLLIG?
(Ich habe hier zur Vereinfachung den ursprünglichen Faktor 2 weggelassen.)
Dieses Integral ist in der Zahlentheorie interessant.
Das, zumal es beim „Aufleiten“ ja „umgekehrt“ abläuft.
Eine Substition x = ln[t] ergäbe ja y = t*ln[t], und die Ableitung nach t, dy/dt = ln[t] + 1 macht euch vielleicht neugierig?
Die Nutzung der Potenzreihe für e^x, nämlich:
1 + x/1 + [x^2]/2! + [x^3]/3! +++++, wo sich ja durch den Faktor x ergibt: x + [x^2]/1! + [x^3]/2! +++++++ [x^(n+1)]/n! und die Ableitung: 1 + 2x + 3x^2 + 4x^3 ++++ ist doch irgendwie auch froh am Locken, oder?
Da erkennt man doch irgendwie gar nicht das (x+1)*e^x wieder!
Und stimmt trotzdem!
Noch überraschwender wirds, wenn man von der ursprünglichen Definition von „e“ und e^x ausgeht: e^x = lim{(1+x/n)^n} = (!!!)
lim{(1 + 1/n)^[x*n]}, jeweils für n gegunendlich.
Die binomische Auflösung der Potenz erhält ja zusätzlich zur ebigen Reihe noch die Binominalkoeffizienten.
Bei dieser Gelegenheit: Wißt ihr, wie man so sacht, wie man „wissenschaftlich“ 1 + 2 ausrechnet?
TRIVIAL! Man rechnet einfach lim{n*([1+1/n]*[1+2/n]) - n}, für n gegunendlich! (Klar, das ist natürlich gleich
lim{n*(1+1/n +2/n + 2/[n^2] - 1)} = lim{n*(3/n + 2/n^2)} =
lim{3 + 2/n} für n gegunendlich = 3.
Oder weiß jemand eine einfachere Lösung?
Moin, euer manni
Also, weil du "Mathefreaks2 angesprochen hast, da hab ich mich eben gemeldet.
Moin ersmal, manni.
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Beeindruckend…
Hallo!
Das ist ja ganz toll, was du alles weißt und das du uns an deinem Wissen teilhaben läßt.
Frage im Physik-Brett: „Hallo Physik-Freaks. Wenn ich in einem Auto mit 50km/h fahre und 125 km zurücklegen muß, welche Zeit benötige ich dafür? Danke für eure Hilfe“
Antwort Manni:
"Schön, dass du die wahren Checker ansprichst, da kann ich einiges dazu sagen. Ist es nicht erstaunlich, dass es in der speziellen Relativitätstheorie das sogenannte Zwillingsparadoxon gibt. Ich will das jetzt mal kurz beschreiben:
Wir betrachten ein Zwillingspaar, das an einem Ort lebt, der sich geradlinig gleichförmig bewegt (z.B. auf der Erde, sofern die Schwerkraft ignoriert wird). Die Schwester will eine längere Reise machen, während der Bruder lieber zuhause bleibt. Also trennen sie sich.
Wie lange ist die Schwester weggeblieben? Die beiden können sich nicht einigen. Sie vergleichen ihre Uhren, und diese zeigen verschiedene Zeiten an. (Im Extremfall einer sehr hohen Reisegeschwindigkeit v sind für den Bruder Jahrzehnte vergangen, während die Schwester nach ihrer eigenen Wahrnehmung nur einige Wochen unterwegs war).
Analysieren wir die Situation quantitativ: Für den Bruder ist zwischen den Ereignissen A und B die Zeit (Eigenzeit) T vergangen. Das ist die Dauer, die in seinem Inertialsystem zwischen den beiden Ereignissen A und B vergeht. Die Zeit (Eigenzeit), die für die (Uhr der) Schwester vergangen ist, wollen wir T ’ nennen. Aufgrund der Symmetrie der Reise vergeht für sie zwischen den Ereignissen A und M die Zeit T '/2 , und zwischen M und B nochmals die Zeit T '/2. Wir betrachten den ersten Teil AM ihrer Reise. Hier liegt ein typischer Anwendungsfall für unser früheres Resultat über die Zeitdilatation vor: Die Schwester bewegt sich während dieses Teils ihrer Reise in einem Inertialsystem, stellt also eine „bewegte Uhr“ dar. Zwischen A und M vergeht im Inertialsystem des Bruders (System, in dem die Schwester bewegt ist) die Zeit T/2, im Inertialsystem der Schwester (Ruhsystem der Schwester) die Zeit T '/2, und zwischen diesen beiden Zeiten gilt die Beziehung
T/2 = (T '/2) (1 - v2/c2 )-1/2 , (1)
woraus
T = T ’ (1 - v2/c2 )-1/2 (2)
folgt. Das ist die Formel für das Zwillingsparadoxon. Solange v von Null verschieden ist, ist T > T '. Für den Bruder ist also tatsächlich eine längere Zeit vergangen als für die Schwester. Ist v nahe an der Lichtgeschwindigkeit c, so wird der Faktor (1 - v2/c2 )-1/2 sehr groß.
Das Zwillingsparadoxon ist also eine direkte Folge der Zeitdilatation. Es ist konzeptuell einfacher als dieses, da völlig klar ist, wie der Effekt gemessen wird: Man nehme zwei Uhren, bewege sie wie oben beschrieben und lese die von ihnen angezeigten Zeiten ab!"
Sehr nützlich…
Gruß
Andre
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Quantitativ gesehen schon
schon, lieber André, aber auch qualitatief?
Immerhin auf jeden Fall sehr qwaltich!
Tschaua, moin, manni
…Und falsch ist die Formel auch noch, denn sie lautet
t = t’ * (1/sqrt(1-(v²/c²))).
Denn der Faktor (1-v^2/c^2) - 1/2 wäre für v --> c nicht unendlich, sondern -1/2.
Allerdings ist lim v --> c (t’ * (1/sqrt(1-(v²/c²)))) = unendl., weshalb sich meine obere Gleichung bestätigt.
Immer diese Physiker…
Ch
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Au-toren-verwirrung
Hallo, lieber André (wissnu auffen Arm? Bitte.com!), allerliebster Christoph und amtlieber Kubi!
Ich erwarte von der Moderation des inzwischen auch „meinigen“ Forum, daß hier gaanz nettikett eingegriffen wird!
Klar, kann ich die allgemeine Aufdrängerei von selbsternannten Oberwissenschaftlern, die „alles wissen“ und mit ihrem Bauchladen draußen (und nochmehr in der Schule) den Leuten die Luft nehmen,. wohl weil „sie zuhause nnicht mehr zu Wort kommen“.
Andrerseits, wie bereits an anderer Stelle moniert, bédaure ich eine Verflachung des Forums in Richtung „Hausaufgabestelle“, und wollte es von Anfang an „hochhalten“ durch zumindest Anfügung von weiterführenden Aspekten (die dann auch dem Schüler helfen können, nicht schon in der nächsten Etappe des Mathgeunterrichts, die eigenen Bemühungen, vom Arsch hochzukommen, gleich wieder scheitern zu sehen zu tun.
Tut nut scheinbar ja nur den Schülern selbst weh. Und denn brauchense ja anscheinend die Drogen; wegen der Schmerzen.
Da bin ich (aus Erlebnissen heraus) Nietzscheaner: „Wer sich fallen läßt, den soll man auch noch stoßen!“
Und lange Zeit haick kein Bock, meine Hand dabei sicherheitshalber vor sein Arschj zu halten!
Könntschaman auch zum Dank als Pädovieler denunziert werden, amende.
Vielleicht bedenkt sich unser lieber Moderator José Harvey, ob er hier vielleicht bedenkenlos moderierend endlich zu Wort kommen könne?
Falls es doch nicht für alle deutlich geworden ist: NICHT ICH habe hier mit dem „Zwillingseffekt“ angegeben! Und die Formel entwickle ich auch ganz anders, nämlich aus der Konstanz/Begrenztheit der Signalübertragungsgeschwindigkeit.
Sivad,
moin,
manni
@André und Manfred
Da ich ja jetzt schon aufgefordert werde, meinen Senf dazu zu tun, mache ich es hiermit:
Manfred,
es reicht in aller Regel aus, Fragen, die hier gestellt werden, zu beantworten oder es zu lassen. Nicht nachgefragte Sachverhalte zu erklären wird ohnehin meist mit wenig Gegenliebe bedacht. Und gerade Du neigst auch dazu, durch sehr starkes Abweichen vom Thema und unnötig komplizierten Satzbau das Kind mit dem Bade ausazuschütten. Bitte halte Dich etwas mehr an die üblichen Gepflogenheiten.
André,
es zeugt nicht gerade von Takt und Anstand, die Ausführungen anderer in Threads zu anderen Themen zu zitieren, um sie lächerlich zu machen oder sonstwie negativ darzustellen. Ob das nun aus spontaner Unbedachtheit oder absichtlich geschah, weiß ich nicht, und will ich nicht wissen. Aber lasse es bitte zukünftig.
Danke, Kubi (MOD)
Hier noch einmal meine Meinung zu dem Thema:
Klar, kann ich die allgemeine Aufdrängerei von
selbsternannten Oberwissenschaftlern, die „alles wissen“ und
mit ihrem Bauchladen draußen (und nochmehr in der Schule) den
Leuten die Luft nehmen,. wohl weil „sie zuhause nnicht mehr zu
Wort kommen“.
Ich bin mit Sicherheit keiner, der anderen in der Schule die Luft nimmt. Mein Einwurf, der nicht gedacht war, um jemanden bloßzustellen, fußte lediglich auf das Thema spez. Relativitätstheorie, das wir im Physik-Kurs vor einigen Monaten ausführlich behandelt haben und über das wir eine wunderschöne Abi-Vorklausur schreiben „durften“. Du siehst, ich habe es mir nicht zwangsweise angeeignet, um den „Oberwissenschaftler“ raushängen zu lassen. Dafür wollte ich das Forum als das nutzen, was es ist: eine virtuell Räumlichkeit zum diskutieren. Zudem sind meine privaten Umstände vor dem Hintergrund dieses Diskussionsforums irrelevant.
Andrerseits, wie bereits an anderer Stelle moniert, bédaure
ich eine Verflachung des Forums in Richtung
„Hausaufgabestelle“,
Kann mir nicht erklären, was mein Betrag mit dem von dir angeführten Begriff „Hausaufgabenstelle“ zu tun haben soll.
Aber egal,
Ch
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Dochnoch Autorenentwirrung nötig?
Lieber Christoph!
Ich wollte mich eigentlich an vorderer Stelle an der Beendigung der ins persönlichen gegangenen „wissenschaftlichen“ Debatte hier beteiligen, aber sehe, daß du meine postings als Kritik an dir mißverstanden hast; und da bin ich erschrocken!
Ich war nach der ersten Kritik an meinen weiterführenden und für jeden mit der Materie beschäftigten Schüler sicher (weil Thema unmittelbar bevorstehend) interessanten Anregungen ganz besonders „angefaßt“ beim Lesen deiner Bemerkung: „und falsch…auch noch“, als wenn ich tatsächlich das Problem der Berechnung von Fahrradfahrten mithilfe der Relativitätstheorie vorschlagen würde, und das auch noch mit falschen Formeln.
Mir selbst sind diese gar nicht geläufig, und ich stehe ihnen auch selbst skeptisch gegenüber, v.a. weil plötzlich all die Leute, denen „sowas“ einst unmöglich und undiskutierbar´ war, diese plötzlich alle auswendig daherbeten´ konnten.
Nein, dein mail hatte ich doch für alle sichtbar als Kritik an der Kritik an mir aufgegriffen, (oder war dir das garnicht bewußt?) habe leider aber den Fehler (?) begangen, meine Re-Kritik an dem unglücklichen posting über deinem´ an dein erstes angehängt. Tut mir leid, daß du das als Kritik meinerseits an deinem posting (miß)verstanden hast. Es ist (im Gegensatz zu dem Eindruck, den du jetzt von mir hast) für mich gerade sehr faszinierend und ermutigend, daß junge Leute wie du´ (sorry, binschaman nu auch 54) derart auch die nur´ in der Schule gewonnenen Erkenntnisse gleich im wissenschaftlichen Streit´ erproben! WEITER SO!!!
Herzliche Grüße,
manni
Tag, Manni!
Ob diese Formeln der s. R. tatsächlich richtig im Sinne der Realität sind, weiß ich auch nicht. Jedenfalls hat der Einstein damit viel Geld verdient (oder auch nicht, zumindest berühmt wurde er). Und dafür ist eine ordentliche Diskussion doch da: Wenn sich alle bezüglich einer Sachlage widersprechen, die man sowieso nicht so ohne weiteres nachprüfen kann, alle mit Formeln um sich werfen, und natürlich jeder Recht hat (oder haben will), dann ist das entweder so 'ne Art Jura oder eben Physik (ist jedenfalls bei uns im Unterricht so *g*).
Positiv erstaunt bin ich allerdings darüber, dass auch noch jemand (also in diesem Falle ja du) meine Art unterstützt, immer allem zunächst zu widersprechen, wo ich es nur kann. Das kann eine Stärke sein (sagt mein Deutschlehrer) oder aber „typisch, der muss imma wat andret behaupten, mann ey!“ (sagt mein Chemielehrer).
Schwamm drüber,
Ch