Hallo an alle WWW-Members!
Bei mir ist das ABI schon ein wenig her:smile:
Wie komme ich an die Lösungsmenge dieser Gleichung?
(2x*x-1)hoch0,5 +x=0
Ausgeschrieben: Die Wurzel von (2mal xquadrat minus1 )plus x gleich 0
Sorry für die umständliche Bezeichnung.
Danke schonmal im voraus!
Hi
(2x*x-1)hoch0,5 +x=0
Ausgeschrieben: Die Wurzel von (2mal xquadrat minus1 )plus x
gleich 0
Die Lösung bekommst Du mittels der dritten binomischen Formel
(a+b)*(a-b) = a² - b²
b = x und a = (2x*x-1)hoch0,5
Du musst einfach die Gleichung mit (a-b) multiplizieren und dann gleich Null setzen…
Das Ergebnis ist x = -1. (da bei x = +1 der Nenner auch Null ist!!!)
cu
x abziehen, quadrieren, x*x abziehen, 1 addieren, wurzelziehen,
potentielle Loesungen +1 und -1, aber nur -1 erfuellt die urspruengliche Gleichung
T
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Danke, dass ihr mir so schnell weitergeholfen habt.
Die Umformungen verstehe ich.
Eigentlich recht simpel.
Doch am Ende erhält man doch :
X²=1----> x=1 und x=-1
Warum erhalten wir das falsche Ergebnis -1,obwohl wir mit Äquivalenzumformungen gearbeitet haben?
A. de Melo
Sorry,meine natürlich […]das falsche Ergebnis +1,[…]
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Hallo Alessandro,
Warum erhalten wir das falsche Ergebnis -1,obwohl wir mit
Äquivalenzumformungen gearbeitet haben?
nein…wenn man den Lösungsweg mit der 3. binomischen Formel geht,
multpliziert man bei a-b möglicherweise mit Null, und das ist tatsächlich der Fall: (…)hoch1/2 - x ist Null für x=+1. In diesem Moment ist die Äquivalenz verloren. (Ich nehme an, daß das in einem anderen Posting mit dem „Nenner gleich Null“ gemeint war.)
Gruß
Stefan
A. de Melo
Sorry,meine natürlich […]das falsche Ergebnis +1,[…]
Hi,
hinsichtlich des von mir vorgeschlagenen direkten Loesungsweges ohne binomische Formel
> x abziehen, quadrieren, x*x abziehen, 1 addieren, wurzelziehen,
> potentielle Loesungen +1 und -1, aber nur -1 erfuellt die urspruengliche
> Gleichung
ist das Quadrieren keine Aquvalenzumformen. Beweis:
x=1 hat eine Loesung x*x=1 aber 2, naemlich -1 und +1.
Wurzelziehen ist i.A. auch keine Aquivalenzumformung.
T
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Sorry, ich bin zu blöd:
Wenn ich +1 in (2x^2-1)^0.5 einsetze, erhalte ich:
+1^2 =1
*2 = 2
-1 = 1
Wurzel 1 ist -1 oder 1 wenn ich -1 wähle, kommt mit x=+1 das richtige heraus.
Wenn ich -1 in (2x^2-1)^0.5 einsetze erhalte ich:
(-1)^2 =1
*2 = 2
-1 = 1
Wurzel 1 ist -1 oder 1, wenn ich 1 wähle kommt mit x=-1 das richtige heraus.
Also ist für mich -1 UND +1 die Lösungsmenge, da beides in Defmenge enthalten…
jartul
Hi,
hinsichtlich des von mir vorgeschlagenen direkten
Loesungsweges ohne binomische Formel
> x abziehen, quadrieren, x*x abziehen, 1 addieren,
wurzelziehen,
> potentielle Loesungen +1 und -1, aber nur -1 erfuellt die
urspruengliche
> Gleichung
ist das Quadrieren keine Aquvalenzumformen. Beweis:
x=1 hat eine Loesung x*x=1 aber 2, naemlich -1 und +1.
Wurzelziehen ist i.A. auch keine Aquivalenzumformung.
T
Kann man also festhalten,dass man beim Quadrieren und Wurzelziehen einer Gleichung die erhaltenen Ergebnisse noch mal überprüfen sollte?
Danke für eure Hilfe!
A. de Melo
Ohoh Jungs,
Ich dachte die nächsten Aufgaben könnte ich dank euch nun selbst.
Doch wie komme ich an die Lösungsmenge bzw. wie forme ich um,wenn noch ein Freiglied vorkommt?
Aufgabe:
(9*x^4)^0,5 + 12x + 9 = 0
Meine Idee war irgendwie die binomische Formel anzuwenden.
Aber irgendwie habe ich dabei Probleme mit der Wurzel!
wenn in der zu loesenden Gleichung ein Quadratwurzelzeichen steht, ist
die positive Wurzel gemeint. Wen Du beim Umformen Wurzeln ziehen musst, kann es sein, dass Du die positive und die negative Wurzel verwenden kannst.
T
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Ho,
Die Wurzel in der gegebenen Gleichung ist per Definition positiv.
D.h. (9x^4)^0,5 = 3x^2 und Du hast eine quadratische Gleichung, die
Du sicher selbst loesen kannst.
Etwas umstaendlicher aber allgemeiner geht es so:
9+12x abziehen und beide Seiten quadrieren. Durch dieses
Quadrieren handelst Du Dir unter Umstaenden Loesungen ein,
die keine sind. Dann Wurzelziehen und im Prinzip musst Du
hier die positive *und* die negative Wurzeln in Betracht ziehen, da
*dieses* Wurzelziehen nicht in der urspruenglichen Gleichung steht
(die Wurzel dort ist per Definition positiv! andernfalls stuende
da -()^0,5). Du bekommst dann zwei quadratische Gleichungen,
naemlich x*x+4x+3=0 und x*x-4x-3=0.
Die musst Du loesen und bekommst dabei zwischen 0 und 4 moegliche
Loesungen, die Du alle testen musst, ob sie die urspruengliche
Gleichung erfuellen.
T
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Hallo Jartul,
es ist ja bereits erwähnt worden, jetzt aber noch einmal ganz deutlich:
Für die nichtnegative reelle Zahl x bezeichnet der Ausdruck sqrt(x) genau eine reelle Zahl, und zwar diejenige positive Zahl y, die die Gleichung y^2=x erfüllt.
Die Gleichung y^2=x (x≥0) hat evtl. 2 Lösungen in den reellen Zahlen. Um den Ausdruck sqrt(…) eindeutig zu machen, definiert man, dass er die positive Lösung bezeichnet. Die Lösungsmenge von y^2=x ist dann gegeben durch {+sqrt(x), -sqrt(x)}.