Hallo an alle!
Wie kann ich folgende Gleichung nach x auflösen?
A*cos^2(x) = B*sin(x)*cos(x)-C
Ich probier schon eine ganze Weile, aber mir fehlt leider jeglicher Ansatz, bzw. komm ich immer wieder auf obiges Problem zurück und mir bleiben diverse Winkelfunktionen von x übrig.
mfg
Lugi
Hallo.
Wie kann ich folgende Gleichung nach x auflösen?
A*cos^2(x) = B*sin(x)*cos(x)-C
Ich probier schon eine ganze Weile, aber mir fehlt leider
jeglicher Ansatz, bzw. komm ich immer wieder auf obiges
Problem zurück und mir bleiben diverse Winkelfunktionen von x
übrig.
Hm, hab es nicht durchgerechnet, aber vielleicht kommst du so zu einem Ergebnis:
sin(x) = Wurzel(1-cos^2(x))
Dann cos(x) substituieren, also y = cos(x).
Dann hat man:
A*y^2 = B*Wurzel(1-y^2)*y-C
A*y^2 + C = B*Wurzel(1-y^2)
A^2*y^4 + 2AC*y^2 + C2 = B^2 - B^2*y^2
Das sollte man nach y auflösen können und arccos(y) ist dann die Lösung.
Sebastian.
Hi Sebastian!
von dem Schritt:
A*y^2 = B*Wurzel(1-y^2)*y-C
zu dem:
A*y^2 + C = B*Wurzel(1-y^2)
hat sich ein kleiner Fehler eingeschlichen. Müsste A*y^2 + C = B*Wurzel(1-y^2)*y sein.
Das sollte man nach y auflösen können und arccos(y) ist dann
die Lösung.
Prinzipiell müsste das stimmen, ja. Nur leider weiß ich nicht wie ich dann die Gleichung für y auflösen soll (ohne Rechner).
Hast du eventuell noch einen Tipp für mich?
Vielen Dank,
Lugi
Hi.
von dem Schritt:
A*y^2 = B*Wurzel(1-y^2)*y-C
zu dem:
A*y^2 + C = B*Wurzel(1-y^2)
hat sich ein kleiner Fehler eingeschlichen. Müsste A*y^2 + C =
B*Wurzel(1-y^2)*y sein.
Ups, hast recht.
Das sollte man nach y auflösen können und arccos(y) ist dann
die Lösung.Prinzipiell müsste das stimmen, ja. Nur leider weiß ich nicht
wie ich dann die Gleichung für y auflösen soll (ohne Rechner).Hast du eventuell noch einen Tipp für mich?
A*y^2 + C = B*Wurzel(1-y^2)*y
A^2 * y^4 + 2AC * y^2 + C^2 = B^2 * (1-y^2) * y^2
A^2 * y^4 + 2AC * y^2 + C^2 = B^2 * y^2 - B^2 * y^4
y^4 * (A^2 - B^2) + y^2 * (2AC - B^2) + C^2 = 0
Dann nochmal substituieren: z = y^2
z^2 * (A^2 - B^2) + z * (2AC - B^2) + C^2 = 0
Das ist eine quadratische Gleichung, zu lösen mit der p-q-Formel, bzw. da z^2 noch einen Vorfaktor hat mit der a-b-c-Formel:
az^2 + bz + c = 0
–> z = (-b +/- Wurzel(b^2 - 4ac)) / 2a
z = (-2AC+B^2 +/- Wurzel(4A^2C^2 - 4AB^2C + B^4 - 4(A^2 - B^2)C^2)) / (2*(A^2 - B^2))
z = (-2AC+B^2 +/- Wurzel(B^4 - 4AB^2C +4B^2C^2)) / (2A^2-2B^2)
z = (-2AC + B^2 +/- B * Wurzel(B^2 - 4AC + 4C^2)) / (2A^2 - 2B^2)
Durch die Substitution ergibt sich:
y = Wurzel(z)
x = arccos(y) = arccos(Wurzel(z))
Sebastian.