Lösungsweg für Goniometrische Gleichungen

Wissenschaft Physik
#1

Hallo zusammen!

Ich lerne in Mathematik (10. Klasse Oberstufe) gerade Goniometrische Gleichungen. Nun habe ich einen allgemeinen Lösungsweg bekommen jedoch verstehe ich Punkt 2 aus dieser Anleitung nicht wirklich, leider ist auch kein Beispiel dabei. Ich habe den unverständlichen Teil fett markiert und nicht den gesamten Lösungsweg hier geschrieben, weil der Rest nicht mehr wichtig ist bzw. Ich den sowieso verstehe. Ich hoffe es kann mir jemand helfen.

  1. Man drückt die auftretenden Winkelfunktionen mit Hilfe der trigonometrischen Formeln durch eine einzige Winkelfunktion eines einzigen Argumentes ax, also durch sin(ax), cos(ax), tan(ax) oder cot(ax) aus.

  2. Man setzt die festgelegte Winkelfunktion gleich y, also z.B. y=sin(ax) und erhält durch Einsetzen eine Gleichung für die eine veränderliche g(y)=0

  3. Man ermittelt dazu alle Lösungen y1, y2 usw.

  4. Durch Rücksubstituierung wird Schritt 2 rückgängig gemacht …

#2

Hi,

war von Deinem Thema so verwirrt, dass ich doch erstmal nachschauen musste was goniometrische Gleichungen (hab den Namen noch nie gehört) überhaupt sind.

Formeln die Du für Teil 1 brauchen kannst:

sin²x + cos²x = 1
tanx = sinx/cosx
sin2x = 2 * sinx * cosx
cos2x = cos²x - sin²x

Jetzt konkret zu Deinem fett markierten Teil:

nachdem Du, wie Punkt 1. es ja sagt, Deine Gleichung mit den gerade genannten Formeln so umgewandelt hast, dass entweder nur noch sin(ax) oder nur noch cos(ax) oder nur noch tan(ax) oder cot(ax) da steht, setzt Du ja für diese Funktion y ein.

Beispiel:

Deine Gleichung hieß am Anfang

2*sin(x)*cos(x) = 2*sin(2x) -0,5

Mit Hilfe von den Gleichungen oben rechnest Dus um auf

sin(2x) = 2*sin(2x) -0,5

jetzt willst Du, dass diese furchtbaren sin(2x) verschwinden deshalb setzt Du y=sin(2x) woraus sich folgendes ergibt:

y = 2\*y -0,5

das ist jetzt eine viel übersichtlichere Gleichung.

  1. Man setzt die festgelegte Winkelfunktion gleich y, also
    z.B. y=sin(ax) und erhält durch Einsetzen eine Gleichung
    für die eine veränderliche g(y)=0

Der fettgedruckte Teil meint nur, dass Du das zum einen einsetzen musst wie wirs gerade gemacht haben, und das mit dem g(y) = 0 meint,
dass Du das so umformen sollst, dass auf der einen Seite die ganzen y stehen (und auch alle anderen Zahlen) und auf der anderen Seite 0.
Also in unserem Beispiel:

y - 2\*y + 0,5 = 0 ausgerechnet:
-y +0,5 = 0

g(y) wäre hier also die linke Seite (-y+0,5)

Jetzt bist Du schon bei Punkt 3.

da bekommst Du dann

y= 0,5 heraus (also nur eine Lösung)

und wenn Du Rücksubstituierst bekommst Du (Schritt 4)

sin 2x = 0,5

Das kannst Du ja jetzt ganz leicht mit dem Taschenrechner ausrechnen
(der inverse Sinus von 0,5 und dann geteilt durch 2).

Hoffentlich konnte ich Dir helfen und hoffentlich ist es noch nicht zu spät.

#3

Wunderbare Erklärung, mit der die nächste Schularbeit wieder etwas leichter werden wird :wink:
Danke

#4

Noch eine Frage. Unter welchem Namen sind dir diese Gleichungen bekannt, denn dass dir diese Bezeichnung nicht bekannt ist, erklärt auch wohl den Grund, dass ich keine Bücher darüber gefunden habe.

#5

…ich hab das Wort noch zufällig irgendwo unter dem Stichwort Polarkoordinaten gefunden (in einem Abschnitt über komplexe Zahlen, mit denen Du in der 10ten Klasse noch nichts zu tun hast schätze ich), Polarkoordinaten sind nämlich die goniometrische Darstellung von komplexen Zahlen sozusagen.

Hier ist noch eine Definition von
http://did.mat.uni-bayreuth.de/~wn/ss_01/kurz/semina…
„Eine Gleichung heißt goniometrisch, wenn sie die Unbekannte x in mindestens einem trigonometrischen Term enthält. In der Schule beschränkt man sich i. R. auf rein-goniometrische Gleichungen - also Gleichungen, bei denen die Unbekannte x nur in trigonometrischen Termen auftritt.“

Es ist glaube ich einfach ein allgemein unbekanntes Wort, weil viele das zwar in der Schule rechnen aber davon wohl nur wenige den Namen jemals gehört haben. Vielleicht empfiehlt es sich unter trigonometrische Gleichungen n-ten Grades zu suchen (?).

Hoffe Du bist beim nächsten Test erfolgreich! =0)