Hi Leute,
kann mir jemand zeigen, wie folgender Beweis geht?!:
log(1+x)=x+o(|x|) x -> 0
o= Landausymbol
Hallo,
zunächst einmal umformen: ln(1+x)-x=o(x). Du mußt ln gemeint haben, sonst geht der Beweis nicht. Nun genügt es, die Def. des Landausymbols anzuwenden, nämlich
f(x)=o(g(x)) für x->x0 : lim(f(x)/g(x))=0 für x->x0
in diesem Beispiel ist also zu zeigen:
lim((ln(1+x)-x)/|x|)=0 für x->0
das kriegst du mit der L’Hopital-Regel hin. Unter Benutzung von d|x|/dx=sign(x) ist nicht einmal eine Fallunterscheidung notwendig.
Der Limes wird nämlich:
lim ((1/(1+x)-1)/sign(x)) = lim ((1-1)/sign(x)) = lim (0) = 0 für x->0. und fertig. Ich hoffe das ist richtig so.
Gruß
Marco
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Hi
log(1+x)=x+o(|x|) x -> 0
Das ist einfach nur die Taylorentwicklung um den Punkt 1. Sie lautet allgemein:
f(x+1) = f(1) + x*f’(1) + o(|x|)
und mit f(1)=0 und f’(1)=1 erhälst du obige Formel.
Gruß
Oliver
hmm…den beweis versteh ich grad nicht auf anhieb, aber ich beschäftige mich damit jetzt…aber es heißt log und nicht ln…war kein tippfehler…
danke
Hallo,
wenn in der Aufgabenstellung log steht, ist da der „Fehler“. Manche Bücher benutzen log für den natürlichen Logarithmus. Aber der Beweis geht wirklich nur für den natürlichen Logarithmus, den ich üblicherweise mit „ln“ bezeichne. Was Oliver schreibt, ist Unsinn, das hat mit der Taylorreihe rein gar nichts zu tun. Die hätte die Form log(1+x)=x+O(x²). (Großes O und Quadrat!)
Was verstehst du an dem Beweis denn nicht? Also die Definition des Landausymbols müßtest du draufhaben oder nachschlagen können, sonst verstehe ich nicht, wieso du eine Aufgabe damit hast. Und wenn du in Mathe auf dem Niveau bist, daß du die Landausymbole kennst, solltest du auch die l’Hopital-Regel kennen. Falls doch nicht, so kannst du den Grenzwert auch anders ausrechnen, wenn du willst.
Marco
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Hi,
Was
Oliver schreibt, ist Unsinn, das hat mit der Taylorreihe rein
gar nichts zu tun. Die hätte die Form log(1+x)=x+O(x²).
(Großes O und Quadrat!)
Aber O(x²) impliziert doch o(|x|).
Gruß
Oliver
Hi,
Was
Oliver schreibt, ist Unsinn, das hat mit der Taylorreihe rein
gar nichts zu tun. Die hätte die Form log(1+x)=x+O(x²).
(Großes O und Quadrat!)Aber O(x²) impliziert doch o(|x|).
Das müßtest du mir mal beweisen. Außerdem behauptest du x+o(|x|) wäre die Taylorentwicklung, d.h. du setzt zwischen o(|x|) und O(x²) ein Gleichheitszeichen. Um das zu beweisen, reicht die Implikation nicht, du mußt die Äquivalenz beweisen. Solange du mir das nicht beibringst, behaupte ich weiter, daß du Unsinn geschrieben hast.
Gruß
Marco
Aber O(x²) impliziert doch o(|x|).
Das müßtest du mir mal beweisen.
Aber bitte sehr:
f(x)=O(x²)
bedeutet
lim(f(x)/x²)=const. (für x gegen Null)
Beide Seiten mit lim(|x|) mulitpliziert und x²=|x|² benutzt ergibt:
lim(f(x)/|x|) = const.*lim(|x|)= 0
Was f(x)=o(|x|) bedeutet.
Außerdem behauptest du
x+o(|x|) wäre die Taylorentwicklung, d.h. du
setzt zwischen
o(|x|) und O(x²) ein Gleichheitszeichen. Um das
zu beweisen,
reicht die Implikation nicht, du mußt die
Äquivalenz beweisen.
Nein, ich benutze die Implikation und nicht die Äquivalenz!
Denn es gilt ja:
ln(1+x) = x + O(x²) => ln(1+x) = x + o(|x|)
Also gehe ich nur in eine Richtung.
Ich hab also lediglich die Aussage, die Taylorentwicklung liefert, abgeschwächt. Das ist genauso, als wenn ich aus x=5 folgere: x>=0.
Solange du mir das nicht beibringst, behaupte
ich weiter, daß
du Unsinn geschrieben hast.
Wie nett!
Und wieso können wir nicht ganz normal über unsere Lösungen diskutieren, wenn sie unterschiedlich sind? Ich sage ja auch nicht gleich, dass du von Mathe keine Ahnung hast, nur weil du offenbar die Sache mit der logischen Aussage nicht kapiert hast…
Gruß
Oliver
Na gut, soweit reichten meine Gedankengänge wohl nicht.
Aber du mußt zugeben, daß dein erster Antwortartikel mehr als mißverständlich war. In dem behauptest du nämlich steif und fest der Term mit o(|x|) wäre eben die Taylorentwicklung (was falsch ist, und deswegen habe ich „Unsinn“ geschrieben) und nicht, daß du es aus der Taylorentwicklung folgerst, was etwas leicht anderes ist.
Wenn ich die Sache nun richtig sehe, hat Nadine mittlerweise 2 Beweise für die Geschichte.
Viele Grüße
Marco
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