Die Tochter unseres Nachbars hatt ein Problem mit dieser aufgabe.
(4^x-6)=(2^x+1)*7
nächster schritt
(x-6)lg4=(x+1)lg2*lg7
nächster schritt
xlg4-6lg4=xlg2+lg2*lg7 oder ??? nun soll nach x umgestellt werdenwenn ich dies mache komme ich auf das ergebniss
xlg4-xlg2 = 6lg4+lg2*lg7
x = (6lg4+lg2*lg7)/(lg4-lg2)
oder habe ich was falsch gemacht denn in der lösung kommt dies herraus
x = (6lg4+lg2+lg7)/(lg4-lg2)
wie komme ich dadrauf das aus dem * ein + wird.
danke schon einmal im vorraus
Hallo,
(4^x-6)=(2^x+1)*7
nächster schritt
Ich nehme an, dass Du 4^(x-6) = 7 * 2^(x+1) meinst?
(x-6)lg4=(x+1)lg2*lg7
nächster schritt
Wenn Du gemeint hast, was ich denke, dann liegt hier schon der Hund begraben, für den Zeichenfehler.
Es gilt folgendes Logarhythmengesetz:
lg (a * b) = lg(a) + lg (b) - und NICHT lg(a*b) = lg(a)*lg(b)
Warum ist das so? Nun lg(a*b) ist ja die Zahl, die ich nehmen muss,
damit
10^(lg(a*b)) = a*b
ergibt.
Außerdem soll gelten
10^(lg(a))=a und 10^(lg(b))=b,
daher also a*b = 10^(lg(a)) * 10^(lg(b)) = 10^(lg(a)+lg(b)),
nach Potenzgesetzen. Und daraus folgt:
lg(a)+lg(b) = lg(a*b)
Oder in Deiner Aufgabe:
lg [4^(x-6)] = lg [7 * 2^(x+1)]
(x-6) * lg (4) = lg (7) + (x+1)* lg(2)
Und weiter:
x*lg(4)-6*lg(4) = lg(7)+x*lg(2)+lg(2)
x*[lg(4)-lg(2)] = lg(7)+lg(2)+6*lg(4)
x = [lg(7)+lg(2)+6*lg(4)] / [lg(4)-lg(2)]
was Deiner Musterlösung entspricht.
oder habe ich was falsch gemacht denn in der lösung kommt dies
herraus
x = (6lg4+lg2+lg7)/(lg4-lg2)wie komme ich dadrauf das aus dem * ein + wird.
Wegen den Logarhythmusgesetzen, die aus den Potenzgesetzen folgen (oder umgekehrt).
Man kann jetzt auch noch weiter zusammenfassen:
lg(4)-lg(2) = lg(4/2) = lg(2)
und
6*lg(4) + lg (2) + lg(7) = lg ( (4^6)*2*7 ) = lg ( 57344 )
Das führt zu:
x = lg (57344) / lg (2)
Oder auch:
x = log_2 (57344) (der Logarhythmus zur Basis 2)
Beste Grüße,
Zwergenbrot
Die Tochter unseres Nachbars hatt ein Problem mit dieser
aufgabe.(4^x-6)=(2^x+1)*7
nächster schritt(x-6)lg4=(x+1)lg2*lg7
falsch.
lg[2^(x+1)*7)=lg[2^(x+1)] + lg7 (und nicht „mal“). Der Logarithmus setzt mathematische Operationen immer um eine Ebene herab:
Aus einer Potenz macht er ein Produkt: lgx^y=y*lgx
Aus einem Produkt macht er eine Summe: lg(x*y)=lgx + lgy.
Aus einem Quotienten macht er eine Differenz: lg(x/y)=lgx-lgy.
Aus Summen und Differenzen kann man keine Logarithmen ziehen.
Also:
x-6)lg4 = (x+1)lg2 + lg7
xlg4-6lg4=xlg2+lg2+lg7
xlg4-xlg2=lg2+6lg4+lg7
xlg(4/2)=lg(2*4*7)
xlg2=lg56
x=lg56/lg2=5,81… (wenn ich richtig gerechnet habe)
Gruß, Michael
Zwergenbrot war erstens schneller und zweitens richtiger!
xlg4-xlg2=lg2+6lg4+lg7
Bis hierher war es richtig, und dann verschwand plötzlich die 6 vor lg4. Richtig muss es heißen:
xlg(4/2)=lg(2*(4^6)*7)
xlg2=lg57344
x=lg57344/lg2=15,81… (wenn ich richtig gerechnet habe)
Gruß, Michael