Herr Brigg mit seinen Brigg´schen Logarithmentafeln.Seine Mantissen
sitzen heute in jedem Taschenrechner.Aber wie ist er draufgekommen,daß
z.B. lg5 = 0,698970004 ist. Welchen Rechenweg bzw. Gedankenweg ist er gegangen?
Bei google war ich schon!!
Gruß
Horst
Herr Brigg mit seinen Brigg´schen Logarithmentafeln.Seine
Mantissen
sitzen heute in jedem Taschenrechner.
Hallo Horst,
das ist zumindest missverständlich - natürlich sitzen KEINE Mantissen im Taschenrechner. Logarithmen werden durch Näherungsverfahren berechnet wie alle anderen Funktionen auch. Schon die zur Verfügung stehende Stellenzahl (meistens 10 Stellen) schliesst eine Speicherung aus.
Gruss Reinhard
Hi Daimio,
da war ich auch schon.
Ich stellte mir vor, der Herr Brigg sitzt da und möchte nun z.B den
(Zehner)Lg von 3 ausrechnen. Gab es da schon ein Verfahren wie z.B.schriftliches Wurzelziehen oder hat er ein Näherungsverfahren verwendet und wenn welches. Oder war die Sache so kompliziert, daß er erst die damalige Wissenschaft konsultiert hat und die haben dann über Jahre ein Verfahren entwickelt,das heute nur an Unis im letzten
Semester erörtert wird.Jedenfalls sagt Wkikipedia da nichts Näheres drüber.
Gruß
Horst
Hallo,
aus den Rechenregeln für den Logarithmus ergibt sich ja leicht, daß man nur die Primzahlen berechnen muß, alles andere ist Fleißarbeit.
In http://de.wikipedia.org/wiki/Henry_Briggs steht:
…einer bahnbrechenden neuen Berechnungsmethode der Logarithmen über fortgesetztes Wurzelziehen
und
… das Newtonsche Binomialtheorem für den Spezialfall Exponent 0.5 entdeckt
Das kombiniert wird ihm die Arbeit vereinfacht haben. Um dir zu sagen, wie das genau geht, bin ich nicht Mathematiker genug.
Cu Rene
Hallo,
Herr Brigg mit seinen Brigg´schen Logarithmentafeln.
Aber wie ist er draufgekommen, daß z.B. lg5 = 0,698970004 ist.
Welchen Rechenweg bzw. Gedankenweg ist er gegangen?
er hat gecheckt, mit welcher „leichten“ Operation sich das Problem knacken lässt, nämlich dem Quadratwurzelziehen. Der Kern von Briggs Idee liegt in dieser Beziehung:
\log p :\approx:
K: 2^n
\Big(
\sqrt{\cdots\sqrt{\sqrt{p}}}^{[n \textnormal{Wurzeln}]} - 1
\Big)
mit K = 0.43429448… = log e
Sieht vielleicht abgehoben aus, ist aber banal. Für den Beweis braucht man nur die Log-Rechenregeln und das Wissen, dass log(x) für x dicht bei 1 näherungsweise gleich K (x – 1) ist. Letzteres hat Briggs durch Beobachtung herausgefunden. Je größer man n wählt desto genauer wird das Ergebnis.
K ist der konstante Umrechnungsfaktor zwischen dem natürlichen und dem dekadischen Logarithmus. Setzt man p = 10, dann ist log§ = 1 und K folgt zu
K :\approx:
\frac{1}{{2^n}
\Big(
\sqrt{\cdots\sqrt{\sqrt{10}}}^{[n \textnormal{Wurzeln}]} - 1
\Big)}
Dass das tatsächlich stimmt, kann man hübsch mit einem Computer Algebra System nachvollziehen (ein Standard-Taschenrechner ist wegen der begrenzten Anzahl Nachkommastellen nur bedingt geeignet). Beispiel: Zieht man aus 10 genau n = 40 mal die Quadratwurzel und führt die Rechnung mit 25 Nachkommastellen aus, ist das Ergebnis 1.000000000002094188942462. Davon 1 subtrahiert ist 2.09418894246 · 10–12. Die Multiplikation mit 240 und Kehrwertbildung liefert K = 0.43429448190 und davon sind alle Nachkommastellen korrekt.
Jetzt muss man sich noch klarmachen, dass es reicht, nur die Logarithmen von Primzahlen p direkt zu berechnen. Zusammengesetzte Zahlen zerlegt man in ihre Primfaktoren und addiert deren Logarithmen auf. Mit Kommazahlen muss man sich natürlich sowieso nicht abgeben, denn wenn man z. B. weiß, dass log(89452) = 4.95159 ist, kennt man ja auch log(8.9452) und log(0.00089452) etc.
Bleibt das wiederholte Ziehen der Quadratwurzel. Das stellte für Briggs die größte Hürde dar. Iterative Verfahren wie der Heron-Algorithmus scheiden für eine Berechnung per Hand leider aus, denn dabei würde man sich schwarz rechnen. Zum Glück entdeckte Briggs ein ebenso cleveres wie effizientes Schema, die sogenannte Differenzenmethode. Damit – und immer noch unendlich viel Fleiß – konnte er die riesige Zahl an Wurzelberechnungen bewältigen.
Die genaue Erklärung der Differenzenmethode und noch mehr Interessantes rund um die Geburt der Logarithmen findest Du hier:
http://www.rechenschieber.org/sonar.pdf
Gruß
Martin
Um beispielsweise den Logarithmus der Zahl 2 zu ermitteln, ist die 2,00 unter den Ergebnissen (1,01^69) aufzusuchen. Sie liegt zwischen der 69. Potenz (1,9867) und der 70. Potenz von 1,01 (2,0066). Linear interpoliert ergibt sich 69,7. Der gesuchte Logarithmus ergibt sich durch (schriftliche) Division: 69,7: 231,4 = 0,3012.
Das (und noch etwas mehr Text dazu) habe ich unter deinem hilfreichen
Link gefunden
Was für eine Arbeit. Aber nun ist meine Frage beantwortet, vielen Dank
cu
Horst