Hallo Disap!
Ich nehme an, hier steht eigentlich
27*3^x = 3^{2x-1}
Bei der ersten Gleichung wendest du auf beide Seiten den log
an
log(27*3^x) = log(3^{2x-1})
x = log(27)/log(3) + 1
Taschenrechner liefert x=4
Wie bitte? Taschenrechner?! Sind wir hier in der Grundschule?
Erst einmal muss man ja nicht irgendeinen Logarithmus nehmen, sondern kann gleich den log3 anwenden, da alle vorkommenden Potenzen die Basis 3 haben. Dann steht da sofort:
log3(27*3x) = log3(32x-1)
log3(27) + log3(3x) = log3(32x-1)
(log3(27) + x = 2x-1
(weil der loga ja gerade die Umkehroperation zu „a hoch“ darstellt),
und log327 ist nach Definition diejenige Zahl x, für die gilt: 3x=27. Das kann jeder lösen, der weiß, was Potenzieren bedeutet: 3*3 ist 9, mal 3 ist 27. Also log327=3.
Wenn man nun nicht bereits gesehen hat, dass man nur den Logarithmus zur Basis 3 braucht, dann kommt man zu dem Schritt, den Du auch hattest, bevor Du was vom Taschenrechner erzähltest:
x = log(27)/log(3) + 1.
Nun weiß man aber allein vom Umgang mit dem Taschenrechner (der so etwas wie log3 nicht kennt), dass für alle a,b,x gilt:
logab = logxa/logxb.
Daher ist log(27)/log(3) = log327, und das kann jeder ausrechnen (s.o.).
Und selbst wenn einem das nicht mehr einfällt, so weiß man immerhin (oder sollte man wissen, wenn man mit Logarithmen arbeiten möchte), dass bei Logarithmen alles leichter wird, wenn man was in Faktoren oder Potenzen zerlegt. Das sollte bei 27 nicht schwerfallen:
27 = 3*9 = 3*3*3 = 3³.
Dies setzt man ein, wendet die Logarithmengesetze an und erhält:
log(27)/log(3) = log(3³)/log(3) = 3*log(3)/log(3) = 3.
Liebe Grüße
Immo