Hallo,
ich soll folgende Gleichungen nach x auflösen, nur leider fehlt mir etwas die Idee wie ich das X aus der Klammer bekomme.
Wurzel ln(1-x)=e
Dabei dachte ich mir, erst einmal quadrieren, allerdings weiß ich dann immer noch nicht wie ich dann aus ln(1-x)=e^2 da das x herausbekomme
und
2. ln(1/x)-ln(x)=4
hierbei das gleiche problem.
das ganze sind auch keine Hausaufgaben, sondern Übungsaufgaben, von denen ich noch n ganzen Haufen mehr hab und die ich über die Ferien machen soll, das Problem ist nur, wenn ich gar keine Idee hab wie die zulösen sind, kann ich auch nich wirklich üben, das nur als Info für die, die meinen ich wär einfach zu faul. (falls es so Leute überhaupt hier gibt )
LG
Flashster
Dabei dachte ich mir, erst einmal quadrieren, allerdings weiß
ich dann immer noch nicht wie ich dann aus ln(1-x)=e^2 da das
x herausbekomme
Schonmal ein guter Anfang. Weiter geht es dann so:
e^(ln(1-x)) = e^(e^2)
1-x = e^(e^2)
x = 1 - e^(e^2)
ln(1/x)-ln(x)=4
Es gibt da einige Rechenregeln für Logarithmen, unter anderem gilt:
ln a - ln b = ln (a/b)
Und daraus abgeleitet auch ln (1/x) = -ln x
in deinem Fall also:
-ln x - ln x = 4
-2 ln x = 4
ln x = -2
x = e^(-2)
Dein Anfang ist schon mal richtig: Quadrieren.
Du musst dir überlegen, was du möchtest und wie du dort Schritt für Schritt hinkommst.
Als erstes stört dich die Wurzel, also quadrierst du:
ln(1-x) = e^2
Was stört dich dann? Der Logarithmus…weißt du, wie du ihn wegbekommst?
Kleiner Tipp: Welche besondere Beziehung hat der ln zu e? Sprich, was musst du auf beiden Seiten machen, damit der ln wegkommt (die rechte Seite interessiert erstmal nicht).
ln(\frac{1}{x}) - ln(x) = 4
Dafür solltest du dir die Logarithmus-Gesetze nochmal anschauen.
Es gilt:
ln(a) - ln(b) = ln(\frac{a}{b})
Und dann musst eig nur noch das gleiche machen wie oben um den ln wegzubekommen.
Kleiner Tipp: Das Logarithmusgesetz kannst du 2 mal anwenden, um alles zu vereinfachen.
geht doch…
Richtige Lösung siehe unten bei Sebastion.
Sry, hatte einen kleinen Denkfehler drin, da ich dachte, dass beim Logarithmus keine negativen Zahlen rauskommen können. Aber man darf nur keine negativen Zahlen einsetzen.
also mir ist der schritt noch nicht so klar
ln(1-x)=e^2
e^(ln(1-x)) = e^(e^2)
also, ln(1-x) ist das gleiche wie e^(ln(1-x)) ?
Nein, das ist nicht das gleiche.
ln ist die Umkehrung der e-Funktion. Es gilt also e^(ln x) = x.
Um die Gleichung nun in die Form zu bekommen, dass dort statt ln ein e^ln steht, muss man einfach auf beiden Seiten der Funktion den Term in den Exponenten von e schreiben. Das ist eine Umformung, die man immer machen darf (zumindest mit reellen Zahlen), also
a = b e^a = e^b
Du hattest jetzt
ln(1-x) = e^2
Wenn man hier sieht, dass das die gleiche Form hat (a = ln(1-x) und b = e^2), dann ist das also äquivalent zu
e^(ln(1-x)) = e^(e^2)
Die Umkehrfunktion vom ln zur Basis e ist die Exponentialfunktion, d.h. diese „macht den ln rückgängig“ (mal salopp ausgedrückt).
Wenn du ln(x) hast, dann kannst du die e-Funktion darauf loslassen und kommst wieder auf x: e^{ln(x)}= x .
In deinem Fall wendest du die e-Funktion auf ln(1-x) an, um das x aus dem Logarithmus zu bekommen:
e^{ln(1-x)}= 1-x
Jetzt hast du aber in deiner Aufgabe eine Gleichung, d.h. du musst die gleiche Operation auf beiden Seiten ausführen:
ln(1-x)= e^2 \Rightarrow e^{ln(1-x)} = e^{e^{2}} = 1-x
)