Logarithmus negativer Zahlen

Wissenschaft Mathematik
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Hallo,
ein Logarithmus negativer Zahlen ist ja wohl nicht definiert.
Andererseits gilt
log(x) = log(x^2)/2
und x^2=(-x)^2
also wäre log(x)=log(x^2)/2=log((-x)^2)/2=log(-x)
( Die 2 steht nur als Platzhalter für jede beliebige gerade Zahl )

Meine Frage: Warum definiert man nicht einfach log(-x) = log(x)?
Das wäre in meinen Augen konsequent.
Ich wäre für jede Erklärung dankbar.
Freundliche Grüße
Thomas

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Moin,

ein Logarithmus negativer Zahlen ist ja wohl nicht definiert.

nicht?
http://de.wikipedia.org/wiki/Komplexer_Logarithmus#K…

Gandalf

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Hallo! Solche Funktionen werden sinnvoll eingeführt, hier z.B. als Umkehrung von exp(x). mfG

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Hi

Quadrieren ist keine Äquivalenzumformung. Also aus a^2=b^2 folgt nicht a=b. Daher ist dieser Umformungsschritt wohl ungültig.

Für komplexe Zahlen gilt allerdings log(-x) = log(x) + pi*i als Hauptwert. i ist dabei die imaginäre Einheit gegeben durch i^2 = -1.

MfG IGnow

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Hallo Gandalf,
in wikipedia hatte ich auch nachgesehen und
„Null und die negativen Zahlen
In den reellen Zahlen ist der Logarithmus für Null und negative Zahlen nicht definiert.“
gefunden.
Den Abschnitt über den komplexen Logarithmus muss ich mir ´mal in Ruhe zu Gemüte führen. So auf Anhieb kann ich daraus nicht erkennen, wie man den Logarithmus von beispielsweise -5 berechnet.
Vielen Dank für Deinen Hinweis.
Freundliche Grüße
Thomas

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Hallo Thomas,

im Reellen kannst Du den negativen Logarithmus nicht definieren. logab ist die Antwort auf die Frage: „Womit muss ich a potenzieren, damit b herauskommt?“ Deshalb ist log28=3, weil 2³=8 ist.
Wenn ich jetzt log2(-8) berechnen wollte, müsste ich eine Zahl x finden, für die gilt 2x=-8; aber solch eine Zahl gibt es (bei den reellen Zahlen) nicht.

Liebe Grüße
Immo

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Hallo Thomas,

das geht so:

ln(-5) = ln(-1) + ln(5)
Da nun -1 = e**(i*(pi+2pi*n) für alle ganzen n, mit pi = Kreiszahl
und i = imaginäre Einheit = Sqrt(-1), folgt:

ln(-5) = ln(5) + i*(pi+2pi*n)

Für den Imaginärteil gibt es also abzählbar unendlich viele Lösungen.

Grüße

Gunter

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Hallo Gunter,
das erscheint mir sinnvoll und ich hätte eigentlich auch selbst darauf kommen können. Diese Welt ist nur sehr ungewohnt, wenn man nur sehr selten damit konfrontiert wird :-S
Vielen Dank und freundliche Grüße
Thomas