hi,
Was ich verstanden habe …
Mir ist klar, dass ein gebrochner Exponent nur für positive
Basen definiert ist. Folglich verstehe ich auch, warum man die
Logarithmusfunktion nur für positive Basen zulässt, sonst
hätte man ja eine Funktion, die praktisch nur aus
Definitionslücken besteht.
yep.
damit hast du schon einmal wichtiges verstanden.
Hier kommt die Frage:
Warum definiert man, dass die Logarithmusoperation (also nicht
die Funktion), bei negativen Basen generell nicht
funktioniert.
Warum hat also log(-2)4 (Logarithmus von 4 zur Basis -2) keine
Lösung?
ich würde das - wenn, dann - eher als (-2)log(4) = 2
(bzw. -2log(4) = 2)
schreiben.
man kann das schon so schreiben, aber die schreibweise unterstellt natürlich eine art (reeller) funktion. und das ist - wie du selbst schon festgestellt hast - nicht sinnvoll (weil vor allem aus lücken bestehend).
es ist einfach nicht üblich, zu negativen basen logarithmen zu betrachten, weil das eben keine reellen funktionen liefert. es ist wohl üblich und sinnvoll (z.b. in der elektrotechnik), „komplexe logarithmen“ zu betrachten, aber das sind insofern keine funktionen, als die dinge schnell nicht mehr eindeutig sind.
Alles was ich mir bis jetzt zusammengereimt habe, ist
folgendes:
Wenn man den Basiswechselsatz anwenden will, braucht man
natürlich immer positive Basen- damit der Basiswechselsatz
immer funktioniert, entfernt man ganz einfach die negativen
Basen aus dem Definitionsbereich.
Gibt es noch andere Gründe warum eine negative Basis in der
Logarithmus operation nicht funktionieren soll ?
es geht nicht darum, dass sie nicht funktionieren „soll“. sie funktioniert rel. simpel nur für ganzzahlige hochzahlen (= „logarithmen“) und wird im komplexen bereich schnell relativ kompliziert.
bsp.:
(-2)^3 = -8
(-2)^(-3) = 1/((-2)^3) = -1/8
(-2)^(3/2) = quadratwurzel(-8) = … 2 komplexe lösungen, nicht mehr „der“ logarithmus.
hth
m.
