Logarithmusfunktion und exponentielles Wachstum

Wissenschaft Physik
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Also, ich habe mal eine bzw. zwei Fragen. Ich kämpfe momentan mit Logarithmusfunktionen und exponentiellem Wachstum und versuche, die Dinge so zu verstehen, dass ich sie jemand anderem erklären kann, obwohl ich selbst schon lange nichts mehr mit Mathe zu tun habe.

Wie rechnet man folgende Aufgaben aus?
2(1-3^x)=3,5*3^x
Hier macht mir speziell die Klammer auf der linken Seite zu schaffen.
Und genauso folgende Aufgabe:
21,8(1-0,4343^-3x)=12

Wäre super, wenn ich das auch schrittweise erklärt bekäme um es genau nachvollziehen und dann anderweitig wieder anwenden könnte.

Das zweite Problem:
Ich habe eine Wertetabelle, anhand derer ich die abnehmende Konzentration eines Medikamentes im Blut ablesen kann. Nun soll ich sagen, wie hoch diese Konzentration nach 10 Stunden ist (ich habe die Werte von 9 und 11 Stunden, die irgendwo im Bereich von 2 liegen) Mit welcher Formel rechne ich so was und vor allem ganz wichtig: welche Variable in dieser Formel steht dann für welchen Wert?

Kennt jemand irgendeine Seite im Netz, die das Thema exponentielles Wachstum und Zerfall wirklich super und schrittweise erläutert, auch für die ganz doofen? Ich habe jetzt schon so viele Seiten mir angeguckt, bin aber immer noch nicht sehr viel schlauer geworden.
schon mal ein dickes Dankeschön im Voraus

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Hallo!

Wie rechnet man folgende Aufgaben aus?
2(1-3^x)=3,5*3^x

Klammer ausmultiplizieren:
2 - 2*3^x = 3,5 * 3^x I :3,5
Jetzt muss man versuchen, 3^x zu isolieren:
(2 : 3,5) - (2:3,5)*3^x=3^x I +((2:3,5)*3^x)
(2 : 3,5) = 3^x + ((2:3,5)*3^x)
(2 : 3,5) = 3^x * (1+ (2:3,5)) I :frowning:1+ (2:3,5))
(2/3,5) : (1+2/3,5) = 3^x
Um an das x ranzukommen, wendet man die Definition des Logarithmus an
( a^x=b x=loga (b) )
x = log3 ((2/3,5) : (1+2/3,5))

21,8(1-0,4343^-3x)=12

auch hier ausmultiplizieren:
21,8 - ( 21,8*0,4343^-3x)=12 I +( 21,8*0,4343^-3x)-12
21,8 - 12 = 21,8*0,4343^-3x I :21,8
1- 12/21,8 =0,4343^-3x
Dann wieder logarithmisieren:
-3x = log zur Basis0,4343 von (1- 12/21,8) I:frowning:-3)

Hoffe das stimmt so… Wie man diese Logarithmen in den Taschenrechner reinkriegt weiß ich nichtmehr, da muss man erstmal die Basis =10 kriegen…

Grüße
Jojo

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Ich habe eine Wertetabelle, anhand derer ich die abnehmende
Konzentration eines Medikamentes im Blut ablesen kann. Nun
soll ich sagen, wie hoch diese Konzentration nach 10 Stunden
ist (ich habe die Werte von 9 und 11 Stunden, die irgendwo im
Bereich von 2 liegen) Mit welcher Formel rechne ich so was und
vor allem ganz wichtig: welche Variable in dieser Formel steht
dann für welchen Wert?

Die Konzentration von Medikamenten folgt im Körper in guter Näherung einem Zeitgesetz erster Ordnung:

c(t) = c0·exp(-t/τ)

τ ist dabei die Zeit, in der die Konzentration um den Faktor e abnimmt. Man kann das Ganze auch mit der physiologischen Halbwertzeit t½ formulieren:

c(t) = c0·2(-t/t½)

wobei t½=τ·ln(2) gilt.

Um Deine Aufgabe zu lösen, bestimmst Du am besten erst einmal die Zeitkonstante. Wenn Du nur zwei Meßwerte zur Verfügung hast, geht das über die Lösung der Gleichung

c11 = c9·exp[-(11h-9h)/τ]

Dabei sind c9 und c11 die Konzentrationen nach 9 bzw 11 Stunden. Die Lösung lautet dann

τ = (11h-9h)/ln(c9/c11)

Bei mehr als zwei Meßwerten mußt Du eine entsprechende nichtlineare Regression durchführen. Mit diesem Wert kann man dann die Konzentrationen zu anderen Zeiten interpolieren:

c10 = c9·exp[-(10h-9h)/τ]

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Hi Jojo,
vielen Dank für deine Ausführungen. Ich habe mal versucht, es nachzuvollziehen, bin aber an folgenden Stellen hängen geblieben.
Ich habe einfach mal alles stehengelassen, um meine Fragen leichter nachvollziehen zu können:

Wie rechnet man folgende Aufgaben aus?
2(1-3^x)=3,5*3^x

Klammer ausmultiplizieren:
2 - 2*3^x = 3,5 * 3^x I :3,5
Jetzt muss man versuchen, 3^x zu isolieren:
(2 : 3,5) - (2:3,5)*3^x=3^x I +((2:3,5)*3^x)
(2 : 3,5) = 3^x + ((2:3,5)*3^x)

bis hier hin kann ich gut folgen, aber beim nächsten Schritt verstehe ich nicht, wie man da auf (1+(2:3,5))kommt und wo das zweite 3^x geblieben ist.

(2 : 3,5) = 3^x * (1+ (2:3,5)) I :frowning:1+ (2:3,5))
(2/3,5) : (1+2/3,5) = 3^x
Um an das x ranzukommen, wendet man die Definition des
Logarithmus an
( a^x=b x=loga (b) )
x = log3 ((2/3,5) : (1+2/3,5))

beim Logaritmieren kann ich auch nicht ganz folgen. Müsste dies nicht so aussehen:
xlog3=log((2/3,5):log(1+2/3,5) ?
Und geht das überhaupt mit der Strichrechnung darin?

21,8(1-0,4343^-3x)=12

auch hier ausmultiplizieren:
21,8 - ( 21,8*0,4343^-3x)=12 I +( 21,8*0,4343^-3x)-12
21,8 - 12 = 21,8*0,4343^-3x I :21,8
1- 12/21,8 =0,4343^-3x
Dann wieder logarithmisieren:
-3x = log zur Basis0,4343 von (1- 12/21,8) I:frowning:-3)

Hier habe ich bis zum logaritmisieren alles verstanden, aber dann komme ich wieder nicht mit. Ich habe gelernt, dass man das nur mit Strichrechnung machen kann, genau genommen habe ich bisher nur Beispiele mit Multiplikation, noch nicht einmal mit Division gesehen.

gruß
trail

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Hallo!

2(1-3^x)=3,5*3^x

Klammer ausmultiplizieren:
2 - 2*3^x = 3,5 * 3^x I :3,5
Jetzt muss man versuchen, 3^x zu isolieren:
(2 : 3,5) - (2:3,5)*3^x=3^x I +((2:3,5)*3^x)
(2 : 3,5) = 3^x + ((2:3,5)*3^x)

bis hier hin kann ich gut folgen, aber beim nächsten Schritt
verstehe ich nicht, wie man da auf (1+(2:3,5))kommt und wo das
zweite 3^x geblieben ist.

Hier habe ich 3^x ausgeklammert: 1*3^x + (2:3,5)*3^x = 3^x * (1+(2:3,5))

(2 : 3,5) = 3^x * (1+ (2:3,5)) I :frowning:1+ (2:3,5))
(2/3,5) : (1+2/3,5) = 3^x
Um an das x ranzukommen, wendet man die Definition des
Logarithmus an
( a^x=b x=loga (b) )
x = log3 ((2/3,5) : (1+2/3,5))

beim Logaritmieren kann ich auch nicht ganz folgen. Müsste
dies nicht so aussehen:
xlog3=log((2/3,5):log(1+2/3,5) ?
Und geht das überhaupt mit der Strichrechnung darin?

Naja, ich eigendlich nicht richtig logarithmiert, sondern so umgeformt:
a^x=b x=loga (b), das geht in dem Fall schneller.(loga soll heissen Logarithmus zur Basis a)

Also gut, mal richtig logarithmisiert:

(2/3,5) : (1+2/3,5) = 3^x

x*lg 3 = lg ((2/3,5) : (1+2/3,5))
So wie du das gemacht hast geht es nicht, man muss den Logarithmus immer vor den ganzen Term schreiben.
x*lg 3 = lg 0,36363636363636363…
x = lg 0,36… : lg 3
x = -0,9208

21,8(1-0,4343^-3x)=12

auch hier ausmultiplizieren:
21,8 - ( 21,8*0,4343^-3x)=12 I +( 21,8*0,4343^-3x)-12
21,8 - 12 = 21,8*0,4343^-3x I :21,8
1- 12/21,8 =0,4343^-3x
Dann wieder logarithmisieren:
-3x = log zur Basis0,4343 von (1- 12/21,8) I:frowning:-3)

Hier habe ich bis zum logaritmisieren alles verstanden, aber
dann komme ich wieder nicht mit. Ich habe gelernt, dass man
das nur mit Strichrechnung machen kann, genau genommen habe
ich bisher nur Beispiele mit Multiplikation, noch nicht einmal
mit Division gesehen.

Is wieder dasselbe wie oben, vergiss es. So gehts :

1- 12/21,8 =0,4343^-3x

lg (1- 12/21,8) = -3x * lg 0,4343
lg (1- 12/21,8) : lg 0,4343 = -3x I:frowning:-3)
lg (1- 12/21,8) : (lg 0,4343 * (-3)) = x
x = - 0.32

Grüße
Jojo