Hallo, ich komme bei der folgenden Mathematikaufgabe leider nicht weiter.
1990 betrug die Einwohnerzahl Indiens 917. Mio. und Chinas 1055 Mio. Während Indien einen jährlichen Bevölkerungszuwachs von 2,5 % hatte, betrug er in China 1,5 %.
a) Wann leben unter diesen Voraussetzungen in Indien genauso viele Menschen wie in China ?
b) Wie viele Menschen werden dann in Indien bzw. China leben ?
100% 917 mio.
1% 9,17 mio. 917:100=9,17
2,5% 22,925 mio. 9,17x2,5=22,925
100% 1055 mio.
1% 10,55 mio.
1,5% 15,825 mio.
a) 1055 mio-917 mio= 138 mio
22,925 mio-15,825 mio. =7,1 mio
138 mio:7,1 mio≈20 Jahre genau=19,436619718309859154929577464789
b)Indien:22,925x20+917=1375,5 mio
china:15,825x20+1055=1371,5 mio
b) stimmt nicht. sind in china:1362,5845070422532521167605633803
Indien:1362,5845070422535211267605633803
Hallo,
anstatt dir einfach nur die Lösung zu sagen, werde ich mal beschreiben, wie ich vorgegangen bin, um die Aufgabe zu lösen.
Zuerst habe ich mir überlegt, wie sich Bevölkerungszuwachs im allgemeinen verhält. Das ist genauso wie ein Zinseszinsproblem, was man dazubekommt muss auch wieder berücksichtigt werden, für die nächste Verzinsung. Es sei also A eine Bevölkerungszahl und z eine Vermehrungsrate, dann schreiben wir ein paar Jahresschritte hin:
0 Jahre : A
1 Jahr : A + A*z (denn es kommt ja Vermehrunsrate mal Bevölkerung hinzu, das wäre für Indien im Bsp 917 * 0,025 = „2,5% von 917“)
2 Jahre : A + A*z + (A + A*z)*z
3 Jahre : A + A*z + (A + A*z)*z + (A + A*z + (A + A*z)*z)*z
Wenn wir A ausklammern, ergibt sich:
0: A
1: A(1 + z)
2: A(1 + 2z +z^2)
3: A(1 + 3z + 3z^2 + z^3)
Das wiederum entspricht (^ meint immer „hoch“)
0: A
1: A(1 + z)
2: A(1 + z)^2
3: A(1 + z)^3
Somit erscheint es plausibel, anzunehmen, dass nach n Jahren die Zahl der Bevölkerung gleich A(1 + z)^n ist.
Diese Formel kann man nun bestätigen, z.B. mit vollst. Induktion. Die Formel gilt für 0-3 Jahre, sei n ein beliebiges Jahr, dann gilt für n+1 Jahre:
Bevölkerung = A(1 + z)^n + (A(1 + z)^n)*z = A((1 + z)^n)*(1 + z) = A(1 + z)^(n + 1)
Also folgt daraus, dass wenn die Formel für ein beliebiges n gilt, sie auch für das nächste n gilt. Da sie für das erste n (z.B. n = 0) gilt, gilt sie allgemein. (->„Prinzip der vollständigen Induktion“)
Gut, damit haben wir eine Formel für den Bevölkerungszuwachs. Nun zurück zur Aufgabe, da uns diese Formel die Bevölkerungszahl von Indien und China nach einer beliebigen Zahl von Jahren sagen kann, können wir uns leicht fragen, nach viewielen Jahren stimmt die denn überein? In Formeln ist das:
917(1 + 0,025)^n = 1055(1 + 0,015)^n
Was hier links z.B. steht ist unsere Formel, eingesetzt 917 als Bevölkerung Indiens und 0,025 = 2,5% als die Zuwachsrate, n die Jahreszahl. Wir bekommen für beliebige n die gesamte Bevölkerung Indiens bzw. auf der rechten Seite Chinas, wenn wir die gleichsetzen, fragen wir uns „für welches n ist die Bev. von Indien gleich der von China?“.
Das lässt sich nun auflösen:
917*1,025^n = 1055*1,015^n
1,025^n / 1,015^n = 1055 / 917
(wir teilen beide Seiten durch 1,015^n und 917)
(1,025/1,015)^n = 1055 / 917
(als Bruch schreiben, dann sieht man das gleich 
exp(n*ln(1,025/1,015)) = 1055/917
(weil exp(n*ln(x)) = e^(n*lnx) = (e^lnx)^n = x^n ->:stuck_out_tongue_winking_eye:otenzregeln)
n*ln(1,025/1,015) = ln(1055/917)
(beide Seiten logarithmieren)
n = ln(1055/917)/ln(1,025/1,015)
Wenn du das nun in den Taschenrechner tippst, wirst du sehen, dass eine Zahl rauskommt, die obige Gleichung löst. Ich habe es mit e und ln gemacht, man könnte aber prinzipiell auch eine andere Basis und einen anderen log nehmen, das Ergebnis bleibt dann gleich.
Naja, hoffe das konnte dir helfen. n gibt dir dann die Zahl der Jahre, die du auf 1990 addieren musst, damit du das Jahr bekommst, in dem die Bevölkerungen übereinstimmen und in die Formel eingesetzt kriegst du die Gesamtbevölkerung…
Hoffe ich habe in dem blöden Fenster hier alles richtig eingetippt
Also viel Spaß noch mit Mathe! Und sollte was unklar sein, einfach nochmal melden…
Bis dann!
Hallo,
die gesuchte Gleichung ist 917*1,025^t=1055*1,015^t.
a) Hierzu muss die Gleichung nach t umgestellt werden.
(Ergebnis zur Kontrolle: t=14,3)
b) Hierzu muss t in die linke oder rechte Seite der Gleichung eingesetzt werden.
(Ergebnis zur Kontrolle: 1,3 Mrd.)
Hier eine Anleitung:
Gleichungen aufstellen
i) Einwohnerzahl Indiens in Abhängigkeit von der Zeit t
ii) Einwohnerzahl Chinas in Abhängigkeit von der Zeit t
Danach, die Einwohnerzahlen gleichsetzen und nach t auflösen. Das ist die Antwort für a). Für b) musst Du t nur in eine der zwei Gleichungen i) oder ii) einsetzen. Sollte beides die gleiche Antwort geben, das ist die Antwort für b).
Viele Grüße,
Benjamin
Hallo,
leider war ich viel unterwegs, so dass ich erst heute zum lesen meiner mails komme, ist das Thema noch relevant??
viele Grüße
Robert