Mein Dilemma:
Was besagen der Vollständigkeitssatz und der Unvollständigkeitssatz von Kurt Gödel?
Hoffe auf baldige Antwort 
Mein Dilemma:
Was besagen der Vollständigkeitssatz und
der Unvollständigkeitssatz von Kurt
Gödel?
Ich kenne zwar den Namen nicht, nehme aber an, es ist der Unvollständigkeitssatz:
Der „berühmteste“ Satz von Gödel besagt, daß es in jedem hinreichend starken logischen System Sätze gibt, die wahr sind, für die das aber im Rahmen dieses Systems nicht bewiesen werden kann.
Hinreichend stark ist dabei eine ziemlich komplexe Definition, die letztendlich darauf hinausläuft, daß es ein relativ geschlossenes (oder umfangreiches) System von logischen Sätzen erzeugt. Z. B. die Mathematik.
Kubi
- Der Gödelsche Vollständigkeitssatz sagt: „Folgt ein Ausdruck aus einer Menge von Ausdrücken, so gibt es einen formalen Beweis dafür“. Er bildet damit quasi eine Brücke zwischen dem formalen Beweisbegriff und dem auf Strukturen bezogenen Folgerungsbegriff.
Aber da Du nach Unvollständigkeit fragst, möchtest Du wahrscheinlich eher etwas zu den Gödelschen Unvollständigkeitssätzen wissen, die auch mit deutlich einfacheren Worten zu beschreiben sind.
- Der erste Unvollständigkeitssatz: „In jedem widerspruchsfreien (hinreichend komplexen) Axiomsystem gibt es Aussagen, die sich zwar auf das Axiomsystem beziehen, aber mit den Mitteln dieses Systems weder bewiesen noch widerlegt werden können“.
Häufig findet man auch die Formulierung „… die zwar wahr sind, aber nicht bewiesen werden können“.
Spannend daran ist das Wort JEDEM. Das heißt, selbst, wenn Du diese Aussagen als Axiome hinzufügst, gibt es in dem neuen System wieder unbeweisbare Aussagen.
- Der zweite Unvollständigkeitssatz: „Die Widerspruchsfreiheit eines Axiomsystems gehört selbst zu ebenjenen Aussagen, die mit den Mitteln des Systems nicht bewiesen werden können“
Populärwissenschaftliche Literaturtipps:
- Douglas R. Hofstadter: Gödel, Escher, Bach"
- Rudy Rucker: Der Ozean der Wahrheit (WARNUNG: ausgerechnet im Beweis des ersten Unvollständigkeitssatzes ist ein Fehler)
- Eigentlich fast jedes Buch von Raymond Smullyan
Viel Spaß
Mein Dilemma:
Was besagen der Vollständigkeitssatz und
der Unvollständigkeitssatz von Kurt
Gödel?
1931 brachte Gödel seine Arbeit heraus, die diesen Satz beinhaltete - beide sind übrigens äquivalent - und zeigte, daß in einem hinreichend reichhaltigen Axiomensystem stets Sätze existieren, die man nicht beweisen kann, die aber wahr sind. Außerdem zeigte er , daß man die Widerspruchsfreiheit eines Systems nur zeigen kann, wenn man in ein höheres, umfassenderes System übergeht.
(Teubner-Taschenbuch der Mathematik)
Gruß Tyll