Bei dem Parameter r=3 kommen ja zwei „zwei-periodische“ Attraktoren dazu und der Fixpunkt wird ein Repellor.
In dem Buch was ich lese steht jetzt, dass wenn der Fixpunkt bei r=3 von Attraktor zu Repellor wird, müssen wegen der Stetigkeit der Funktion die zwei „zwei-periodischen“ Attraktoren dazu kommen, und sie müssen Attraktoren sein.
Wie kann man das „beweisen“? Ok, man kann es sehen, dass wenn die Steigung der beiden neuen Punkte größer oder kleiner 1 wäre, es ein Maximum geben würde, welches es nicht gibt … aber das ist ja nicht wirklich ein Beweis …
Man könnte mit dem Zwischenwertsatz beweisen, dass es zwei weitere Schnittpunkte geben muss … aber wie kann man zeigen, dass der absolute Wert der Steigung kleiner 1 ist? Muss er ja nicht sein, wenn es ein Maximum dort geben würde … ?
Vielleicht könnte mir jemand helfen?
Entschuldigt die komischen Formulierungen … ich studiere in London und kenne mich daher nicht so super mit den ganzen deutschen Begriffen aus … Hoffe aber, ihr versteht trotzdem, was ich meine …
Hallo,
es kommt nur ein 2-periodischer Orbit hinzu, den man explizit berechnen kann: Er besteht aus den beiden Punkten
(r+1-sqrt((r-1)^2-4))/(2r) und (r+1+sqrt((r-1)^2-4))/(2r).
Die Stabilität dieses zwei periodischen Orbits wird bestimmt vom
Produkt der Ableitungen der logistischen Abbildung in diesen beiden
Punkten. Man kann nachrechnen, dass der 2-periodische Orbit
zwischen r=3 und r=1+sqrt(6) stabil ist.
(Der 2-periodische Orbit ist stabil, wenn die beiden Punkte als
Fixpunkt der zweiten Iterierten stabil sind).
Eine andere Betrachtungsweise ist auch möglich: bei r=3 tritt bei
dem Fixpunkt eine sogenannte „Flip-Verzweigung“ oder Periodenverdopplung auf.
Der Fixpunkt wird instabil und ein 2-periodischer Orbit entsteht.
Bei r=1+sqrt(6) passiert dasselbe mit der zweiten Iterierten der
logistischen Abbildung, der 2-periodische Orbit wird dann instabil
und ein 4-periodischer Orbit entsteht neu.
Ja, aber das Buch scheint es so zu meinen, dass man das auch beweisen kann, ohne die Punkte explizit zu berechnen, einfach nur damit, dass die Funktion stetig ist …
Also wie Du im zweiten Absatz sagst, aber dazu eben der Beweis, dass, wenn der Attraktor zu einem Repellor wird, zwei neue Attraktoren dazu kommen „müssen“ …
Man kann sich den Graphen der zweiten Iterierten anschauen, der bei
r=3 die Diagonale x=y berührt und für r>3 "durchstößt, und
weil es eine stetige Funktion ist, ergeben sich dann zwei Schnittpunkte mit der Diagonalen.
Daraus kann man dann schließen, dass ein 2-periodischer Orbit entsteht. Die Stabilität „sieht“ man m.E. nicht leicht, weil sie durch das Produkt der Steigungen in den beiden Schnittpunkten festgelegt ist, die beide ungefähr 1 sind.
…