Lokale Extrema mit 2 Veränderlichen

Wissenschaft Mathematik
1

Hi,

ich bin grad am verzweifeln. Ich soll für die Funktion
f(x,y)=((x+y)^3-3xy
die lokalen Extrema bestimmen. Aber bei df/dx = 0 und df/dy = 0 bekomme ich immer Mischterme mit x und y, sodass ich nach keine Variablen umstellen kann und letztendlich raten muss, was x und y annehmen müssen, damit die Gleichung erfüllt ist.
Die Lösung hab ich, aber ich weiss nich wie man dahin kommt.
Kandidaten für Extrema: (0,0) und (1/4, 1/4)
1/4 zu raten halte ich doch für ein wenig zu viel des guten.

Bin gespannt auf eure Antworten.
Gruß Marius

2

Hi,

wie wär’s, die partiellen Ableitungen mal hinzuschreiben? Z.B. sieht man aus der Struktur der Funktion (und den partiellen Ableitungen der beiden Summanden) schon, dass x=y gelten muss, und damit sollten dann auch die stationären Punkte schnell zu finden sein.

Gruß Lutz

3

Hi,

danke erstmal für die schnelle Antwort. Die partiellen Ableitungen hab ich ja und da treten immer Terme mit x und y auf, so dass ich nach keinem der beiden umstellen kann. Und wenn ich da z.B. 1 einsetzte für x und y dann kommt da nicht 0 am Ende raus…

Gruß Marius

4

Hast du es denn schon geschafft zu zeigen dass x=y sein muss?
Das musst du doch dann nur noch in eine Gleichung einsetzen, wie in der Schule 9. Klasse oder so.

Gruß
Granini

P.S. Es hilft zu wissen, was dein Wissensstand ist, Schüler, Student etc.

5

Die partiellen
Ableitungen hab ich ja und da treten immer Terme mit x und y
auf, so dass ich nach keinem der beiden umstellen kann.

Ich hatte damit keine Schwierigkeiten. Schreib’ doch mal konkret, woran Du bei der Lösung des quadratischen Gleichungssystems scheiterst, bzw. wie weit Du dabei gekommen bist.

6

Hossa :smile:

Deine Funktion lautet:

f(x,y)=(x+y)^3-3xy

Bei den lokalen Extrema ist die Steigung entlang der x- und entlang der y-Richtung gleich 0, also müssen die beiden partiellen Ableitungen gleich 0 sein:

\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}=3(x+y)^2-3y=0

\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}=3(x+y)^2-3x=0

Da 0=0 ist, müssen auch die beiden linken Seiten gleich sein:

3(x+y)^2-3y=3(x+y)^2-3x\quad\Longrightarrow\quad x=y

Mit der Bedingung x=y reduziert sich dein Problem auf eine quadratische Gleichung:

3(x+x)^2-3x=0\quad\Longrightarrow\quad 4x^2-x=0\quad\Longrightarrow\quad x\cdot(4x-1)=0

Die Lösungen der Gleichungen sind offensichtlich:

x=0\quad;\quad x=\frac{1}{4}

was wegen der Bedingung x=y zu den beiden möglichen Kandidaten für ein Extremum führt:

P_1\left(0,0\right)\quad;\quad P_2\left(\frac{1}{4},\frac{1}{4}\right)

Viele Grüße

Hasenfuß

7

Also ich weiß nicht, ob es wirklich hilfreich ist, hier Hausaufgaben einfach im Detail vorzurechnen…

8

wow super danke… jetzt hats geklickt…

@ granini: das sind keine hausaufgaben, ich bin student und schreib bald ne prüfung, also wars schon hilfreich, da ich es einfach nich kapiert hab vorher.