Hallo!
Ich soll die Lotgerade durch zwei zu einander windschiefen Geraden berechnen. Zwar schaffe ich es den Richtungsvektor auszurechnen, allerdings finde ich den benötigten Ortsvektor nicht bzw. komme auf ein lineares Gleichungssystem mit 6 Gleichungen und 6 Variablen (was mir für die Aufgabe zu kompliziert erscheint). Welchen theoretischen Ansatz muss ich wählen?
Danke im Voraus
Flo
Hi Flo,
das sind tatsächlich ein paar viele Gleichungen. Der Trick bei der Sache ist ein Ringschluß:
Wenn die beiden Geraden in der Punkt-Richtungsform
g1:A1+u*R1
g2:A2+v*R2
lauten, dann ist das Lot L durch die Eigenschaft bestimmt, dass es senkrecht auf g1 und g2 steht. Diesen Vektor gewinnst Du aus dem Kreuzprodukt der Richtungsvektoren R1 und R2: L=R1 x R2. Nun läufst Du auf zwei Wegen zum Lotfußpunkt auf Gerade 1:
Wenn der Parameter u alle reellen Zahlen durchläuft, so erreichst Du alle Punkte der Geraden g1. Es gibt also ein ganz bestimmtes u_l, bei welchem Du genau auf dem Lotfußpunkt des Lotes L landest. Diesen Punkt erreichst Du auch, wenn Du auf Gerade 2 mit einem eindeutigen v_l auf den dortigen Lotfußpunkt läufst und dann dem Lot bis auf Gerade 1 folgst. In Formeln:
A1+u_l*R1 = A2+v_l*R2 + w*L
Da die Vektoren alle aus dem R^3 sind, hast Du drei Gleichungen für die 3 Unbekannten u_l, v_l und w.
Der Betrag |w*L| von w*L ist gerade die Länge des Lotes, ergo der Abstand der Geraden.
Die Lotgerade kann z.B. durch den Aufpunkt A1+u_l*R1 und den Richtungsvektor L beschrieben werden.
Gruß und schönen Sonntag
Ted
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