Hallo zusammen,
kann mir jemand den Zusammenhang zwischen dem Räuber-Beute-Modell von Lotka und Volterra und dem Satz von Poincare-Bendixson erklären?
Bzw. wie wende ich Poincare-Bendixson auf das Räuber-Beute Modell an?
Vielen Dank schonmal 
Miat
Hallo
Die Lotka-Volterrasche DGL ergibt sich aus einem simplen Räuber-Beute Modell.
Räuber frisst Beute, vermehrt sich, stirbt. Beute vermehrt sich wird gefressen, stirbt. Mit einfachen Proportionalitäsannahmen. Das Poincare-Bendixson-Theorem sagt stabile geschlossene Lösungskurven für solche Modellsysteme vorraus. Dh. man wird wenn alles so ist wie im Modell (auf lange Sicht) Zyklen beobachten: viel Beute, kurz darauf viel Räuber, dann weinger Beute, dannn weniger Räuber, dann wieder viel Beute, dann wieder viel Räuber, … . Auch beliebig komplizierte Zyklen sind denkbar.
r
kann mir jemand den Zusammenhang zwischen dem
Räuber-Beute-Modell von Lotka und Volterra und dem Satz von
Poincare-Bendixson erklären?
Bzw. wie wende ich Poincare-Bendixson auf das Räuber-Beute
Modell an?Vielen Dank schonmal
Miat
Danke erstmal für die Antwort! Vielleicht hätte ich es noch etwas präzisieren sollen: Ich hab die skalierten Lotka Volterra Gleichungen(x’=(1-y)x und (y’=a(x-1)y) dividiert und dann das Integral berechnet, also die Schar der Trajektorien erhalten. Das ganze ist auf der Menge Q={(x,y)|x,y>0}. Ich kann auch zeigen, dass Q invariant ist, ich müsste doch aber auch zeigen, dass die Menge kompakt ist, damit ich Poincare-Bendixson anwenden kann … und da weiß ich dann nicht weiter …
Vielleicht kann mir da ja nochmal jemand helfen? Das wäre sehr nett!
Danke,
Miat