Lotto - Wahrscheinlichkeit und Denkfehler

Wissenschaft Mathematik
#1

Die Wahrscheinlichkeit für einen Sechser im Lotto (ohne Superzahl)liegt bei ca. 1/13,9 Mio - soweit habe ich das verstanden.

Gesetzt nun, ich würde 1.000 Tipps abgeben - wie hoch ist dann die Wahrscheinlichkeit für einen Sechser ? Liegt sie bei 1.000/13,9 Mio oder liegt sie bei 1/13,9 Mio - 1.000 ? Und wo liegt der Denkfehler bei der falschen Lösung ?

Nur zur Klarstellung: ich habe weder das Geld noch die Lust, 1.000 Lotto-Tipps abzugeben - mich interessiert lediglich die Frage, wo da der Denkfehler liegt.

#2

Hi,

Gesetzt nun, ich würde 1.000 Tipps abgeben - wie hoch ist
dann die Wahrscheinlichkeit für einen Sechser ? Liegt sie bei
1.000/13,9 Mio oder liegt sie bei 1/13,9 Mio - 1.000 ? Und wo
liegt der Denkfehler bei der falschen Lösung ?

Die 13,9 Mio. ist die Anzahl der möglichen Kombinationen für die sechs gezogenen Kugeln. Nur eine dieser Möglichkeiten ist die Variante „6 Richtige“.

Diese 13,9 Möglichkeiten steckst du in eine Schachtel. Aus diese Schachtel darfst du bei einem Tipp eine Möglichkeit herausziehen. Die Chance die Variante „6 Richtige“ zu ziehen liegt also bei 1:13,9 Mio…

Wenn du nun 1000 Mal ziehen darfst, liegt die Chance bei 1000:13,9 Mio… Du darft öfter ziehen, die Anzahl der Möglichkeiten in der Schachtel ändert sich nicht.

Deshalb ist auch 1:frowning:13,9 Mio. - 1000) falsch. Wenn du öfter tippst, ändert sich nur die Häufigkeit mit der zu es probieren darfst, nicht die Anzahl der Möglichkeiten.

Hoffe mal, das kann man so verstehen.

#3

Das gilt natürlich nur, wenn die 1000 Lottotips alle voneinander unterschiedlich sind.

#4

Moin,

Das gilt natürlich nur, wenn die 1000 Lottotips alle
voneinander unterschiedlich sind.

warum das denn?

Gandalf

#5

Hallo, was wäre gewonnen, wenn alle identisch wären? eck.

#6

im Gegenteil
Hallo,
das erinnert mich an das Experiment mit den 2 Ziegen und 1 Auto ( Art Hütchenspiel ).
Demnach dürfte der Tipper seine Chancen ( geringfügig ) erhöhen, wenn er der Ziehung jeweils beiwohnte und ständig seine Tippreihen anpasste. Verblüffenderweise erhöht der Hütchenrater seine Chancen auf das Doppelte wenn er wechselt, nachdem der Moderator eine Ziege ( Niete ) aufgedeckt hat. ( Im Vergleich zu einem „konservativen“ Kollegen, der immer bei seiner ersten Entscheidung bleibt )
Oder habe ich da einen Denkfehler? Wahrscheinlichkeitsexperten, bitte klärt auf!
Freundliche Grüße
Thomas

#7

Hey Gandalf,

die Berechnung dieser Wahrscheinlichkeit beruht auf dem Laplace´schen Wahrscheinlichkeitsraum.
Dabei wird die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A folgendermaßen berechnet:

P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|}

wobei die Mächtigkeit von A die Anzahl der „günstigen Fälle“ und die Mächtigkeit von Omega die Anzahl aller möglichen Fälle ist.

Sollte man jetzt alle Lottoscheine identisch ausfüllen, ist in der Menge A nur ein Element --> also gleicher Stand wie mit einem einzigen Lottoschein.

Schönen Abend noch
Gruß René

#8

Hey Thomas,

die beiden Beispiele kann man nicht miteinander vergleichen:
Beim Ziegenproblem besitzt der Spieler nochmal die Möglichkeit seine Entscheidung nach Öffnung einer Tür zu ändern - des wird beim Lotto bissl schwierig.
Würde Lotto aber bissl einfacher machen, wenn man nach einer gezogenen Zahl seinen Schein nochmal bearbeiten kann :wink:

Das Ziegenproblem ist meiner Ansicht nach auch kein Wahrscheinlichkeitsproblem, sondern eigentlich reine Logik.

Gruß René

#9

Hi,

das hatte ich mal als selbst verständlich vorausgesetzt.

#10

Hallo Rapunzel,

ich habe mich entschlossen, Dir zu antworten, weil die Lösung, daß die Wahrscheinlichkeit für 6 Richtige bei 1000 Tippreihen 1000/13,9 Mill. sein soll, meines Wissens falsch ist, und zwar aus folgendem Grund:

Wäre die Lösung richtig, wäre dann die Wahrscheinlichkeit bei 13,9 Mill. Tippreihen = 1 (13,9 Mill./13,9 Mill.). Und wie groß wäre dann die Wahrscheinlichkeit beispielsweise bei 20 Mill. Tippreihen 20 Mill./13,9 Mill., also größer als 1 – das kann aber nach der Definition der Wahrscheinlichkeit nicht sein. Die meines Wissens richtige Lösung ist leider nicht ganz einfach, und ich hoffe, daß ich sie einigermaßen verständlich darstellen kann:

Bei dem Zahlenlotto 6 aus 49 gibt es für 6 Richtige genau 13 983 816 Möglichkeiten, also rund 13,9 Millionen. Demnach ist die Wahrscheinlichkeit für dieses Ereignis dann (1/13 983 816). Bis dahin ist Dein Ansatz richtig. Bezeichnen wir für die weitere Betrachtung diesen Bruch (1/13 983 816) mit W und die Anzahl der Tipps mit n, so gilt:

Die Wahrscheinlichkeit, mit einem Tipp 6 Richtige zu haben, ist demnach W und die Wahrscheinlichkeit dafür, keine 6 Richtige zu haben, dann 1-W, also die Gegenwahrscheinlichkeit. Bei mehreren Tippreihen sinkt dann die Wahrscheinlichkeit dafür, keinen Sechser zu haben, sie ist (1-W)^n, d . h., die Wahrscheinlichkeit dafür, einen Sechser zu haben, steigt, und sie ist dann 1-((1-W)^n), in Deinen Zahlen also 1-((1-(1/13 983 816))^1000) = 7,1508437*10^-5, ist also immer noch gering.

Gruß Walter

#11

Hallo,

ich habe mich entschlossen, Dir zu antworten, weil die
Lösung, daß die Wahrscheinlichkeit für 6 Richtige bei 1000
Tippreihen 1000/13,9 Mill. sein soll, meines Wissens falsch
ist

Ich bin kein Mathematiker, aber das glaube ich nicht.

Wäre die Lösung richtig, wäre dann die Wahrscheinlichkeit bei
13,9 Mill. Tippreihen = 1 (13,9 Mill./13,9 Mill.).

Wenn es 13 Mio. Möglichkeiten gibt und man gibt 13 Mio. verschiedene Tipps ab, dann ist die Wahrscheinlichkeit, einen Treffer zu landen, exakt 1.

Und wie
groß wäre dann die Wahrscheinlichkeit beispielsweise bei 20
Mill. Tippreihen 20 Mill./13,9 Mill., also größer als 1 – das
kann aber nach der Definition der Wahrscheinlichkeit nicht
sein.

Wenn es 13 Mio. Möglichkeiten gibt und man gibt mehr als 13 Mio. verschiedene Tipps ab, dann ist die Wahrscheinlichkeit, einen Treffer zu landen, größer als 1, d.h. es besteht eine gewisse Chance, mehr als einen Treffer zu landen.

Die Wahrscheinlichkeit, mit einem Tipp 6 Richtige zu haben,
ist demnach W und die Wahrscheinlichkeit dafür, keine 6
Richtige zu haben, dann 1-W, also die Gegenwahrscheinlichkeit.
Bei mehreren Tippreihen sinkt dann die Wahrscheinlichkeit
dafür, keinen Sechser zu haben, sie ist (1-W)^n, d . h., die
Wahrscheinlichkeit dafür, einen Sechser zu haben, steigt, und
sie ist dann 1-((1-W)^n), in Deinen Zahlen also 1-((1-(1/13
983 816))^1000) = 7,1508437*10^-5, ist also immer noch gering.

Die Rechnung 1000/13,9… Mio. ergibt 7,1511…e-5. Kleiner Rundungsfehler deinerseits?

Klär’ mich auf, wenn ich etwas falsch verstanden habe …

Gruß

#12

Hallo,

ich denke, das sollte ich tun, denn Deine Antwort auf meinen Artikel beruht wohl auf einem grundsätzlichen Mißverständnis der Wahrscheinlichkeit. Die Wahrscheinlichkeit ist definiert als die Anzahl der günstigen Fälle zu der Anzahl der möglichen Fälle, die Anzahl der günstigen Fälle steht im Zähler des Bruches, die Anzahl der möglichen Fälle im Nenner. Da aber die Anzahl der günstigen Fälle bestenfalls nur so groß sein kann wie die Anzahl der möglichen Fälle, kann die Wahrscheinlichkeit niemals größer als 1 sein, sie kann nur Werte zwischen 0 und 1 annehmen. Die Wahrscheinlichkeit für ein unmögliches Ereignis ist 0 und die Wahrscheinlichkeit für ein sicheres Ereignis 1.

Wenn Du beispielsweise mit einem Würfel mit den Zahlen von 1 bis 6 würfelst, ist die Wahrscheinlichkeit dafür, eine 1, 2, 3, 4, 5 oder 6 zu würfeln gleich 1, es ist ein sicheres Ereignis, weil eine der sechs Möglichkeiten eintreten muß. Hingegen ist die Wahrscheinlichkeit dafür, mit einem echten Würfel eine 7 zu würfeln gleich Null, weil ein echter Würfel keine 7 hat, es ist also ein unmögliches Ereignis.

Wenn Du das nun nicht verstehst, weiß ich nicht, wie ich Dir das noch anders erklären könnte. Vielleicht solltest Du einmal in ein Mathematik- oder in ein Statistikbuch schauen.

Gruß Walter

#13

Hallo Walter,

ich sehe das so:
Wenn ich 13,9 Mio. verschiedene Tipps abgebe, muss einer der richtige sein, die W. ist also 13,9 Mio. / 13,9 Mio. = 1.
Wenn ich 20 Mio. Tipps abgebe, sind das trotzdem nur 13,9 Mio. verschiedene , mehr gibt es ja nicht. Die W. bleibt also trotzdem = 1.

Wenn ich 1000 verschiedene Tipps abgebe, habe ich 1000 günstige Möglichkeiten für das Ziehungsergebnis, bei 13,9 Mio. möglichen. Und die W. für einen Volltreffer ist demnach 1000/13,9 Mio.

Gruss
Olaf

#14

Geburtstagsparadoxon
Zum Glück ist Mathematik kein demokratischer Prozess.

Von daher liegst Du nach meinem mathematischen Verständis völlig richtig.

Ob man die Wahrscheinlichkeit durch 1.000 teilen darf oder nicht, hängt ganz davon ab, wie diese 1.000 Mal aussehen:

Bei 1.000 verschiedenen Tippreihen würde das Teilen stimmen.

Bei 1.000 Ziehungen (die von einander unabhängig sind) oder zufälligen Tippreihen stimmt das Ganze nicht.

Mit einem gesunden Halbwissen kommt man zu einer Fehleinschätzung , wie auch das Ziegenbeispiel zeigt. Genau diese falsche Einschätzung hat in der Wahrscheinlichkeitsrechnung sogar einen Namen: das Geburtstagsparadoxon.

Hierbei geht es um die Frage, ab welcher Anzahl von Menschen in einer Gruppe, die Wahrscheinlich >50% ist, dass

  1. zwei Menschen am gleichen Tag im Jahr Geburtstag hat.
    Diese Anzahl liegt nämlich nicht bei 365/2 sondern bei 23.

Ohne Nachrechnen konnt man darauf, dass es nicht 365/2 sein kann, weil sonst die Zahl mit der Wahrscheinlichkeit kollidiert:

  1. mindestens ein weiter Mensch an einem bestimmten Tag im Jahr Geburtstag hat.

Entsprechend ist die korrekte Zahl hier mit 365/2 sondern 253.

Ciao, Allesquatsch

#15

Korrektur
Das „weiter“ ist leider falsch reingerutscht und bei der ersten Durchsicht erst mal überlesen worden

#16

Falsch!
Hey Walter,

die Wahrscheinlichkeit bei einer einzigen Ziehung und 1000 verschiedenen Tippzettel beträgt 1000/13,9 Mill.!
Deine anschließende Begründung ist falsch und die Erklärung schreibst du auch in deinen anderen Post - ich zitiere:

Da aber die Anzahl der günstigen Fälle bestenfalls nur so groß sein kann wie die Anzahl der möglichen Fälle…

Wie kommst du dann darauf, dass die Wahrscheinlichkeit 20 Mill. / 13,9 Mill. sein könnte? Wie Olaf schon schrieb, geht es um verschiedene Tippzettel - wenn es also nur 13,9 Mill. Möglichkeiten gibt die Tippzettel auszufüllen, kann man natürlich auch keine 20 Mill. verschiedenen abgeben.

So beträgt die maximale Wahrscheinlichkeit (also das sichere Ereignis mit 13,9 Mill. verschiedenen Tippzettel) also genau 1, wie es die Definition verlangt.

Deine weiteren Berechnungen mit

(1-W)^n

usw. ist die Berechnung der Wahrscheinlichkeit, wenn man 1000 verschiedene Ziehungen anschaut aber mit jeweils nur einem Tippzettel.

Also nochmal zusammengefasst

Betrachten wir eine einzige Ziehung, bei der wir 1000 verschiedene Zettel abgegeben haben ist die Wahrscheinlichkeit:

P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|} = \frac{1000}{13983816} \approx 0.000071511

Betrachten wir allerdings 1000 verschiedene Ziehungen, bei denen wir aber jeweils nur einen Zettel abgegeben haben, dann ist die Wahrscheinlichkeit:

P(B) = 1 - \left( 1 - \frac{1}{13983816} \right)^{1000} \approx 0.000071497

Auf den ersten Blick denkt man sich, dadurch dass sich die beiden Wahrscheinlichkeiten sehr ähnlich sind, ist es egal welche Methode man benutzt. Dazu muss man noch sagen, dass im zweiten Fall das Ereignis B nicht das Ereignis ist, dass man in 1000 Ziehungen genau einen Sechser hat, sondern dass man mindestens einen Sechser hat.
Daraus folgt, dass bei 1000 verschiedenen Ziehungen die Wahrscheinlichkeit genau einen Sechser zu haben noch kleiner ist als die oben angegebene Wahrscheinlichkeit von B.

Gruß René

#17

Hallo,

Wenn Du das nun nicht verstehst, weiß ich nicht, wie ich Dir
das noch anders erklären könnte. Vielleicht solltest Du einmal
in ein Mathematik- oder in ein Statistikbuch schauen.

Geschenkt –

aber mich würde noch interessieren, warum bei deiner Rechnung und der von dir abgelehnten Rechnung das (nahezu) selbe Ergebnis 'rauskommt, Zufall oder Zwangsläufigkeit?

Gruß

#18

Hallo falken, richtig! eck.

#19

Hallo,

da Rapunzel gefragt hat, wie hoch die Wahrscheinlichkeit für 6 Richtige bei 1000 Tips ist, finde ich es nicht in Ordnung, unterschiedliche Tips vorauszusetzen und meine Begründung und Erklärung dann aufgrund dieser Voraussetzung als falsch zu bezeichnen. Das ist als wolle man Äpfel mit Birnen vergleichen.

Ich bin mit Dir und Olaf einer Meinung, daß der Sechser zum sicheren Ereignis wird, wenn man mit den - sagen wir der Einfachheit halber - rd. 14 Mill. Tipreihen alle Kombinationen abdeckt. Das habe ich aber bei meinen Ausführungen nicht vorausgesetzt und halte sie deshalb nach wie vor für richtig.

Gruß Walter

#20

Hey Walter,

tut mir leid, wenn ich dich falsch verstanden habe, aber ich halte es in der Mathematik für sehr wichtig, die Voraussetzungen klar aufzuzeigen, damit jeder, der sich damit beschäftigt die gleichen Informationen hat.
In deinem Ursprungsposts hab ich aber leicher nichts davon gelesen, dass du:

-1000 verschiedene Ziehungen anschaust

-die Wahrscheinlichkeit für mindestens 6 Richtige berechnest und nicht für genau 6 Richtige (ergibt zwar nur einen kleinen Fehler, aber ist trotzdem erwähnenswert)

-und natürlich, dass die Antworten mit 1000/13,9Mill. als Lösung nicht falsch sind, sondern nur auf eine andere Voraussetzung beruhen

Wünsch dir noch einen schönen Abend
Gruß René