Lottoschein-Problem reloaded

Wissenschaft Mathematik
#1

Hallo,

ich will nochmal das Lottoschein-Problem aufgreifen. Das ist nämlich doch komplizierter, als ich dachte.

Es soll mal nur um den Sechser gehen, und ich gehe mal von 13,9 Mio. möglichen Tipps aus.
Ich übertrage das Problem jetzt mal auf das Urnenmodell. Da sind 13,9 Mio. Kugeln drin. Eine davon ist rot (Sechser-Tipp), alle anderen weiß. Einen Tipp abzugeben bedeutet dann, eine Kugel zu ziehen.
Bei mehreren Tipps muss man jetzt unterscheiden, ob man definitiv verschiedene Tipps abgibt oder die Scheine zufällig ausfüllt, so dass es auch sein kann, zweimal den gleichen Tipp abzugeben.
Dieser zweite Fall ist rechnerisch einfacher. Er entspricht „Ziehen mit Zurücklegen“. Und jetzt kann man die Wahrscheinlichkeit für einen Sechser ausrechnen, wenn man n Lottoscheine zufällig ausfüllt: Bei einem Schein entspricht die Wahrscheinlichkeit für einen Sechser 1/13,9 Mio., die für eine Niete 1 - 1/13,9 Mio. Bei n zufälligen Tipps ist die Wahrscheinlichkeit für eine Niete dann
(1 - 1/13,9 Mio.)n.
Die Wahrscheinlichkeit für einen Sechser ist dann
1 - (1 - 1/13,9 Mio.)n.
Das ist übrigens die Lösung von Walter im Thread weiter unten.
Mit einem gewöhnlichen Taschenrechner kann man das für große n nicht mehr ausrechnen, man kann die Formel aber so umstellen:
W = 1 - exp(n * ln(1 - 1/13,9 Mio.))
Auch wenn man 13,9 Mio. Lottoscheine (zufällig) ausfüllt, ist die Wahrscheinlichkeit nicht 1, sondern etwa 0,632. Bei 20 Mio. Lottoscheinen ist sie etwa 0,763.
Schwieriger ist die Sache, wenn ich doppelte Tipps ausschließe. Das entspricht „Ziehen ohne Zurücklegen“. Die Wahrscheinlichkeit für einen Sechser bei einem Tipp ist natürlich 1/13,9 Mio. Beim zweiten Tipp ist sie aber 1/(13,9 Mio. - 1) usw. Wie man jetzt weiterrechnet, da bin ich mir nicht so ganz sicher. Vielleicht kann mal jemand von Euch weiterdiskutieren.

Gruß
Olaf

#2

Hey Olaf,

Die Wahrscheinlichkeit für einen Sechser ist dann
1 - (1 - 1/13,9 Mio.)^n

Das ist nicht richtig - das ist die Wahrscheinlichkeit für mindestens einen Sechser. Das Problem ist die Gegenwahrscheinlichkeit: Das Gegenereignis zu keinem Sechser ist ja nicht genau ein Sechser, sondern mindestens einen Sechser.

Schwieriger ist die Sache, wenn ich doppelte Tipps ausschließe.

Eigentlich sollte das der einfachere Fall sein:
Beim Ziehen ohne Zurücklegen hast du k Bernoulli-Experimente, wobei das k die Anzahl der verschiedenen Tippzettel ist.
Siehe auch Wikipedia:
http://de.wikipedia.org/wiki/Urnenmodell

Gruß René

#3

Hi,

man muss hier nterscheiden, ob man die W’keit für einen a) 6er in einer Ziehung oder b) einen 6er in mehreren Ziehungen betrachten will.
Eigentlich ist das

Ich übertrage das Problem jetzt mal auf das Urnenmodell. Da
sind 13,9 Mio. Kugeln drin. Eine davon ist rot (Sechser-Tipp),
alle anderen weiß. Einen Tipp abzugeben bedeutet dann, eine
Kugel zu ziehen.

das Szenario für a) aber das

(1 - 1/13,9 Mio.)n.

ist der Rechenweg für b).
Zweimal den gleichen tipp abzugeben würde auch nicht die Gewinnwahrscheinlichkeit erhöhen, denn es werden ja nicht Tipps gezogen, sondern völlig unabhängig davon Zahlen.
Faktisch würde man dann zwar 2x mal gewinnen, das hat aber nur einen Einfluss auf den Gewinn (€) den man macht.

Schwieriger ist die Sache, wenn ich doppelte Tipps
ausschließe. Das entspricht „Ziehen ohne Zurücklegen“. Die
Wahrscheinlichkeit für einen Sechser bei einem Tipp ist
natürlich 1/13,9 Mio. Beim zweiten Tipp ist sie aber 1/(13,9
Mio. - 1) usw. Wie man jetzt weiterrechnet, da bin ich mir
nicht so ganz sicher.

Mit jedem Tipp für dieselbe Ziehung erhöhnst du deine Chance zu gewinnen um 1/13.9Mio. Wenn du also alle 13,9Mio möglichen Tipps abgiebst, gewinnst du automatisch.
Deine Idee mit 1/(13.9Mio-k) für den k-ten Tipp käme nur zum ragen, wenn du für jeden vorigen Tipp schon wüsstest, ob er richtig war. Das entspreicht aber nicht der Spielpraxis.

Grüße,
JPL

#4

Hallo René,

Das ist nicht richtig - das ist die Wahrscheinlichkeit für
mindestens einen Sechser. Das Problem ist die
Gegenwahrscheinlichkeit: Das Gegenereignis zu keinem Sechser
ist ja nicht genau ein Sechser, sondern mindestens einen
Sechser.

OK, da hast Du recht. Nach meinem Weg berechnet man die Wahrscheinlichkeit, keine Niete zu haben, also mindestens einen Gewinn.
Die Wahrscheinlichkeit für genau einen Sechser wäre die Binomialverteilung B(k,p,n) mit k=1, p=1/13,9 Mio. und n=Anzahl der (zufälligen) Tipps. Wegen k=1 vereinfacht sich das zu
W = n * p * (1-p)n-1

Schwieriger ist die Sache, wenn ich doppelte Tipps ausschließe.

Eigentlich sollte das der einfachere Fall sein:

Beim Ziehen ohne Zurücklegen hast du k Bernoulli-Experimente,
wobei das k die Anzahl der verschiedenen Tippzettel ist.

Nein, ich weiß gerade echt nicht, wie man das rechnen soll. Bei jeder Ziehung (einer Kugel) erhöht sich doch die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer, weil immer weniger Kugeln in der Urne sind.
Also hier nochmal die Frage im Urnenmodell:
Ich habe (13,9 Mio. - 1) weiße Kugeln darin und eine rote. Ich ziehe n mal ohne Zurücklegen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass da die rote dabei ist?

Gruß
Olaf