ich habe gerade diesen Beweis in eine mathematisch korrekte Form gebracht und dabei ist mir aufgefallen, dass die ganze Abschätzung nur für n>1 klappt, aber der binomische Lehrsatz fordert nur n>0. Für n=1 funktioniert die Abschätzung nämlich nicht. Ist damit der ganze Beweis hinfällig???
Das war der vorgeschlagene Beweis:
Da gelten soll 1 0.
Es sei nun b eine beliebige Zahl > 0.
Bewiesen werden soll die Behauptung:
Es gibt eine natürliche Zahl n, so daß gilt
a^n > b.
Dazu betrachten wir
a^n = (1 + x)^n
Nach der Binomischen Formel ergibt sich
(1 + x)^n = 1 + n * x + … (weitere Glieder, alle positiv)
Wir können also abschätzen:
a^n = (1 + x)^n = 1 + n * x + … > 1 + n * x,
also a^n > 1 + n * (a - 1) (*)
Wenn wir nun die Ungleichung 1 + n * (a - 1) > b nach n auflösen, erhalten wir:
n > (b - 1) / (a - 1)
Für alle natürlichen Zahlen n, welche diese Relation erfüllen, gilt wegen der Ungleichung (*) auch a^n > b.
Hallo Florian,
Ehrlichgesagt verstehe ich nicht, wo das Problem liegt. Mainer Meinung nach stimmt dein Beweis, weil ja:
a = 1 + x, wobei x > 0.
Es sei nun b eine beliebige Zahl > 0.
Bewiesen werden soll die Behauptung:
Es gibt eine natürliche Zahl n, so daß gilt
a^n > b.
Dass es ‚eine natürliche Zahl gibt‘, heißt ja nicht, dass man die kleinste finden muss (oder?). Also, falls schon a^1 > b ist, dann ist auch a^2 > b (weil ja a>1). Also isses ja garnich notwendig, dass n=1 werden kann, oder irre ich mich doch? Denn damit verstehe ich nicht, was du damit:
ich habe gerade diesen Beweis in eine mathematisch korrekte
Form gebracht und dabei ist mir aufgefallen, dass die ganze
Abschätzung nur für n>1 klappt, aber der binomische
Lehrsatz fordert nur n>0. Für n=1 funktioniert die
Abschätzung nämlich nicht. Ist damit der ganze Beweis
hinfällig???
meintest… kannst ja auch einzeln zeigen, dass n=1 ebenfalls möglich ist?
Also, wäre toll, wenn du dein Prob nochmal genauer erläutern könntest, falls dir mein jetziges Gescheibsel nichts nützt (was ich vermute).
Alles klar, ich hatte gestern einfach nur den Denkfehler, dass es für alle n gelten soll und nicht, dass einfach nur ein n existieren soll für die gewählten a und b.
War schon spät gestern…
Danke für die Antwort, hat mir geholfen den Fehler zu erkennen!