Moin Moin.
Bei einer Kurvendiskussion bin ich immer leicht verunsichert auf Grund eines möglichen Sattelpunkts/Wendepunkts:
Das notwendige Kriterium für die Wendestelle lautet:
f’’(x)= 0
Das hinreichendes Kriterium lautet:
f’’’(x)!= 0
Nun ist mir ein weiteres Kriterium zu Ohren gekommen, dass über das hinreichende Kriterium den Sattelpunkt „beweist“. Beweist in dem Sinne, dass es halt als Faustregel festgelegt ist. Meine Recherchen haben bezüglich der folgenden Regel jedoch nichts ergeben:
f’’’(x) Wendestelle
f’’’(x) > 3 => Wendestelle ist ein Sattelpunkt
Daher stelle ich hier die Frage: Gibt es eine solche Definition? Denn bei f(x) = x*x*x, also f(x) = x³ kommt das so hin. Könnte aber auch nur Zufall sein. Sollte hier jemand einen Link kennen, der diese Regel herleitet, wäre es toll, wenn man diesen hier posten könnte.
Sollte es diese Regel nicht geben und jemand einen Sonderfall kennt, wo das eben nicht „hinhait“, würde ich diesen auch gerne „lesen“. Ich habe zwar schon einige Funktionen untersucht, ob dieses Kriterium doch falsch ist, aber irgendwie scheint es doch zu stimmen.
ich bin nun ein wenig verunsichert: Ein Sattelpunkt ist doch immer ein Wendepunkt mit einer Steigung (1. Ableitung) von 0, oder? Dann brauchst du nur genau das noch zu überprüfen, um genau zu wissen, ob es ein einfacher Wendepunkt oder ein Sattelpunkt ist… (?)
Gruss, Omar Abo-Namous
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ich bin nun ein wenig verunsichert: Ein Sattelpunkt ist doch
immer ein Wendepunkt mit einer Steigung (1. Ableitung) von 0,
oder? Dann brauchst du nur genau das noch zu überprüfen, um
genau zu wissen, ob es ein einfacher Wendepunkt oder ein
Sattelpunkt ist… (?)
Gruss, Omar Abo-Namous
Hallo.
Das mit der ersten Ableitung ist richtig, aber ich habe versucht, eine möglichst genaue mathematische Definition für einen Sattelpunkt zu geben.
Jedenfalls ist das doch gar nicht die Problematik, es geht nur darum, ob man ebenfalls mit der dritten Ableitung
f’’’(x)>3
herausfinden kann, ob es sich um einen Sattelpunkt handelt.
Zunächst einmal führt man die hinreichende Bedingung durch: Ist es überhaupt ein Wendepunkt? f’’’(x) != 0
Sollte hier f’’’(x) > 3 heraus kommen, so würde das heißen, nach der Theorie, die es zu klären gilt, dass ein Sattelpunkt vorliegt. Das heißt, man muss gar nicht mehr die X-Stelle in die erste Ableitung einsetzen. Es heißt ja, Mathematiker folgen bzw. suchen immer dem kürzesten Weg.
Und bezüglich dieser Problematik, die ich jetzt versucht habe, ein zweites Mal zu beschreiben, möchte ich in erster Linie ein paar Meinungen hören, die natürlich begründet werden, oder sogar einen mathematischen Beweise sehen (über Suchmaschinen war meine Suche jedenfalls erfolglos). Von daher gilt natürlich auch die Frage:
kennt jemand eine Funktion, wo es keinen Sattelpunkt gibt,
f’’’(x) > 3 ist.
Nochmal die Problematik in einem Satz
Gibt die hinreichende Bedingung f’’’(x) != 0 ebenfalls einen Aufschluss darüber, dass ein Sattelpunkt vorliegt, wenn f’’’(x) > 3
y1=x^3 hat ja bekanntlich bei (0/0) einen Sattelpunkt,
y2=x^3 + x hat dort eine Wendestelle mit Steigung 1.
Jedoch haben beide Funktionen die gleichen höheren Ableitungen.
Bei einer Kurvendiskussion bin ich immer leicht verunsichert
auf Grund eines möglichen Sattelpunkts/Wendepunkts:
Das notwendige Kriterium für die Wendestelle lautet:
f’’(x)= 0
Das hinreichendes Kriterium lautet:
f’’’(x)!= 0
Die hinreichende Bedingung für eine Wendestelle lautet:
f’’ = 0 und f’’’ ≠ 0
In Worten 1: Krümmung wechselt in betreffendem Punkt Vorzeichen.
In Worten 2: Steigung hat im betreffenden Punkt (relatives) Extremum.
Die hinreichende Bedingung für einen Sattelpunkt lautet:
f’’ = 0 und f’’’ ≠ 0 und f’ = 0
In Worten: Sattelpunkt ist Wendestelle mit „Null-Kurvensteigung“/Wendestelle mit waagerechter Tangente.
f’’’(x) Wendestelle
f’’’(x) > 3 => Wendestelle ist ein Sattelpunkt
Daher stelle ich hier die Frage: Gibt es eine solche Definition?
Nein, gibt es nicht, denn die obigen Kriterien kannst Du vergessen.
f(x) = 10 x³ hat im Ursprung eine Wendestelle, aber f’’’(0) = 60.
f(x) = 0.1 x³ + x hat f’’’(0) = 0.6, und im Ursprung eine Wendestelle, aber keinen Sattelpunkt (f’(0) = 1).
Denn bei f(x) = x*x*x, also f(x) = x³ kommt das so hin.
Und bei unendlich vielen anderen Funktionen kommt es nicht hin (ich bin mir nicht sicher, ob es evtl. sogar bei allen anderen Funktionen nicht hinkommt).
Meinst Du vielleicht folgendes hinreichende Kriterium:
Sei für ein x f’(x), f’’(x),… f(n-1)(x) = 0 und f(n)(x)0. Dann gelten:
a) Falls n ungerade ist, so ist x keine Extremalstelle (d.h. ein Sattelpunkt).
b) Falls n gerade ist und f(n)(x)>0, so handelt es sich um eine Minimalstelle.
c) Falls n ungerade ist und f(n)(x)