Mächtigkeit von Mengen

[Gandalf]

Hallo Zahlenteufel,

nach meinem Kenntnissstand gibt es zwei ‚Arten‘ von Unendlichkeit, bzw. der Mächtigkeit von Mengen,

• abzählbar unendlich (natürliche Zahlen, rationale Zahlen) und
• überabzählbar unendlich (reele Zahlen, komplexe Zahlen).
  Nun kam die Frage auf (unser etwas abgedrehter Mittagtisch) ob die Hamiltonschen Quaternionen die gleiche Mächtigkeit haben wie die reelen und komplexen Zahlen oder ob es für sie wieder eine eigene Klasse gibt. Eine Suche im Netz hat mich nicht schlauer gemacht.

In der Wikipedia stand unter dem Stichwort Quaternionen der Satz
Quaternionen sind eine vierdimensionale Divisionsalgebra über dem Körper der reellen Zahlen mit einer nicht kommutativen Multiplikation, was vielleicht den Schluß zuläßt, daß die Mächtigkeit die gleiche sei, aber nichts genaues weiß ich nicht.

Nichts weltbewegendes, aber interessieren würds mich schon.

Gandalf

[Martin_Heuschober]

hallo gandalf - ich würde nicht sagen dass es „mehr“ Quaternionen gibt als Reelle zahlen

eine bijektion weiss ich nicht aber du kannst H (die Hamilton’schen Quaternionen) ja als R^4 auffassen und das weisst du ja ist gleichmächtig zu R bzw C

ciao martin

[Gerhard_Kemme_85f67c]

Hallo,

nach meinem Kenntnissstand gibt es zwei ‚Arten‘ von
Unendlichkeit, bzw. der Mächtigkeit von Mengen,

• abzählbar unendlich (natürliche Zahlen, rationale Zahlen)
  und
• überabzählbar unendlich (reele Zahlen, komplexe Zahlen).

Was sich als Standard-Wissen etabliert und bestens fundamentiert ausgibt, kann auch völlig hirnrissig sein. Die Eigenschaft „unendlich“ für die Mächtigkeit einer Zahlenmenge, wirkt sehr unbegründet und überholt. Die Peano-Axiome postulieren jeweils einen „Nachfolger“ für eine Zahl. Bei konsequenter Anwendung eines solchen Begriffs-Inhaltes könnte man sich Zahlen vorstellen, deren kleine Ziffern das gesamte Universum räumlich füllen. Der Umgang mit Datenspeicherung hat allerdings ein Bewusstsein geschaffen, dass es für die Speicherkapazität immer eine Grenze gibt.

In der Wikipedia stand unter dem Stichwort Quaternionen der Satz

In der Wikipedia stehen viele absolut unsinnige Sätze, die nur von den Admins korrigierbar sind, aber nicht geändert werden.

MfG Gerhard Kemme

[Falk_ea60b6]

Hallo Gerhard!

Warum sollte es unendlichen Mengen geben? Das was du beschreibst ist abzählbare Unendlichkeit. Abzählbar unendliche Mengen haben die Mächtikeit Aleph₀, das Kontinuum (z. B. Reelle Zahlen) hat die Mächtigkeit Aleph₁. Beide Konzepte der Unendlichkeit sind auf Mengen übertragbar. Inzwischen basieren nahezu alle Mathematischen Disziplinen auf der Cantor’schen Mengenlehre. Ich kann deine Haltung daher nicht nachvollziehen.

Falk

[Oliver_T]

Hallo Zahlenteufel,

nach meinem Kenntnissstand gibt es zwei ‚Arten‘ von
Unendlichkeit, bzw. der Mächtigkeit von Mengen,

• abzählbar unendlich (natürliche Zahlen, rationale Zahlen)
  und
• überabzählbar unendlich (reele Zahlen, komplexe Zahlen).

Man kann noch ein wenig mehr Systematik reinbringen. Die Menge der natuerlichen Zahlen N ist abzaehlbar unendlich, hat also die Maechtigkeit aleph_0.

Die Potenzmenge von N gehoert zur Aequivalenzklasse (bezogen auf die Maechtigkeit) aleph_1. Diese Kaskade kann man weitertreiben: aleph_2,… wobei man grundsätzlich die „höheren“ Mächtigkeiten mit ueberabzaehlbar bezeichnet.

Nun kam die Frage auf (unser etwas abgedrehter Mittagtisch) ob
die Hamiltonschen Quaternionen die gleiche Mächtigkeit haben
wie die reelen und komplexen Zahlen oder ob es für sie wieder
eine eigene Klasse gibt. Eine Suche im Netz hat mich nicht
schlauer gemacht.

Natuerlich haben sie die Maechtigkeit aleph_1, gehoeren also zur Aequivalenzklasse der reellen Zahlen R. Man kann sie ja als Vektorraum ueber R auffassen, zusammen mit bestimmten Verknüpfungsvorschriften.

In der Wikipedia stand unter dem Stichwort Quaternionen der
Satz
Quaternionen sind eine vierdimensionale Divisionsalgebra
über dem Körper der reellen Zahlen mit einer nicht
kommutativen Multiplikation , was vielleicht den Schluß
zuläßt, daß die Mächtigkeit die gleiche sei, aber nichts
genaues weiß ich nicht.

Da steht’s ja: „über dem Körper der reellen Zahlen“.

Nichts weltbewegendes, aber interessieren würds mich schon.

Mengenlehre (nicht Quaternionenalgebra) ist fuer mich eines der interessantesten Gebiete der Mathematik ueberhaupt.

Viele Gruesse

Oli

[Gerhard_Kemme_85f67c]

Hallo!

Warum sollte es (Anm.: keine)unendlichen Mengen geben? Das was du
beschreibst ist abzählbare Unendlichkeit. Abzählbar unendliche
Mengen haben die Mächtikeit Aleph₀, das Kontinuum
(z. B. Reelle Zahlen) hat die Mächtigkeit Aleph₁.
Beide Konzepte der Unendlichkeit sind auf Mengen übertragbar.
Inzwischen basieren nahezu alle Mathematischen Disziplinen auf
der Cantor’schen Mengenlehre. Ich kann deine Haltung daher
nicht nachvollziehen.

Was allgemein in einer Fachwissenschaft üblich ist, kann doch verkehrt sein. In diesem Fall enthält die Bezeichnung Unendliche Zahlenmenge eine sprachlich sehr konkrete Angabe bezüglich des nicht vorhandenen Endes des Zahlenstrahls. Wenn diese Kennzeichnung verkehrt ist, dann handelt es sich um eine grob irreführende Bezeichnungsweise. Beispielsweise wäre es problematisch über die Beschleunigung eines Autos, die Aussage zu machen, es hätte gerade eine „Fallbeschleunigung“ von 2 m/s². Entsprechend wäre die Aussage, ich säße vor einem PC mit unendlicher Speicherkapazität ebenfalls eine Irreführung. Die Unendlichkeit der menschlichen Seinsumgebung bezüglich der Speicherung von unendlich vielen Zahlen in IN, bzw. von unendlich mal unendlich vielen Zahlen in IR muss erstmal bewiesen werden.
MfG Gerhard Kemme

[Zwergenbrot]

Hi,

Was sich als Standard-Wissen etabliert und bestens
fundamentiert ausgibt, kann auch völlig hirnrissig sein.

Keine Frage, das ist wahr.

Die
Eigenschaft „unendlich“ für die Mächtigkeit einer Zahlenmenge,
wirkt sehr unbegründet und überholt.

Das war mir neu. Und ich finde diese Eigenschaft noch immer ausgesprochen nützlich.

Die Peano-Axiome
postulieren jeweils einen „Nachfolger“ für eine Zahl.

Wenn’s um Mengen geht, dann doch eher Zermelo-Franklin. Aber das Nachfolgermodell ist trotzdem drin, also gut.

Bei
konsequenter Anwendung eines solchen Begriffs-Inhaltes könnte
man sich Zahlen vorstellen, deren kleine Ziffern das gesamte
Universum räumlich füllen.

Naja, nur wenn man glaubt, dass eine Zahl das ist, was man auf das Papier schreibt. Aber fein, vorstellen kann man sich viel. Davon lebt die Mathematik.

Der Umgang mit Datenspeicherung hat
allerdings ein Bewusstsein geschaffen, dass es für die
Speicherkapazität immer eine Grenze gibt.

Ja fein. Und wo liegt nun das Problem mit der Unendlichkeit von Mengen? Wir wollen die blöden Zahlen ja nicht alle speichern. Und wenn das Blatt ganz schwarz ist vor lauter Ziffern, dann machen wir halt einen gelben Punkt drauf und sagen, dieses Symbol verwenden wir immer dann, wenn wir ein komplett vollgeschriebenes Blatt haben und eins addieren (bzw. die menge mit der menge von sich vereinigen).

Und sein wann muss sich der Mathematiker Gedanken machen, ob das mit dem Universum auch funktioniert? Dann hätte ich auch gleich Physik studieren können, wenn mich die Wirklichkeit interessieren würde.

In der Wikipedia stehen viele absolut unsinnige Sätze, die nur
von den Admins korrigierbar sind, aber nicht geändert werden.

Was den Satz jetzt aber auch nicht falsch macht.

Mit den besten Grüßen,
Zwergenbrot

[Oliver_T]

Hallo Gerhard,

Was allgemein in einer Fachwissenschaft üblich ist, kann doch
verkehrt sein. In diesem Fall enthält die Bezeichnung
Unendliche Zahlenmenge eine sprachlich sehr konkrete
Angabe bezüglich des nicht vorhandenen Endes des
Zahlenstrahls.

Das stimmt doch nicht. Entweder eine Menge ist unendlich, oder sie ist unendlich, und zwar per Definition, Punkt aus. Wenn die Umgangssprache etwas anderes suggeriert, darf man sich eben nicht irreleiten lassen.

Die Bezeichnung „unendlich“ bezieht sich darauf, daß eine Durchzaehlung aller Elemente eben nicht abbricht, sondern „unendlich“ weiter geht. Im Fachjargon: es gibt keine Bijektion von der betrachteten Menge nach einer endlichen Teilmenge von N.

Der Zahlstrahl ist ja ohnehin nur zur Veranschaulichung von
Mengen wie R oder N geeignet. Da R aber nicht wohlgeordnet ist, kannst du den Zahlenstral ja nicht mal fuer alle Teilmengen von R benutzen, trotzdem sind Mengen wie {alle transzendenten Zahlen} ebenfalls unendlich.

Wenn diese Kennzeichnung verkehrt ist, dann
handelt es sich um eine grob irreführende Bezeichnungsweise.

Es gibt auch „perfekte“ Zahlen, und das ist umgangssprachlich ebenso irreführend, da diese bestimmt auch ein paar Macken haben…

Beispielsweise wäre es problematisch über die Beschleunigung
eines Autos, die Aussage zu machen, es hätte gerade eine
„Fallbeschleunigung“ von 2 m/s².

Warum setzt du eigentlich Umgangssprache fortwährend mit Fachsprache gleich und beklagst dich, daß das so nicht im „alten Grimm von 1815“ steht (überspitzt ausgedrückt)?

Entsprechend wäre die
Aussage, ich säße vor einem PC mit unendlicher
Speicherkapazität ebenfalls eine Irreführung.

Sagt ja auch keiner, weil es mit Sicherheit falsch wäre.

Die
Unendlichkeit der menschlichen Seinsumgebung bezüglich der
Speicherung von unendlich vielen Zahlen in IN, bzw. von
unendlich mal unendlich vielen Zahlen in IR muss
erstmal bewiesen werden.

Wovon redest du überhaupt? Gehört das nicht ins Philosophie-Brett? Was willst du sagen?

Oliver

[Oliver_T]

Hallo Gerhard,

Das stimmt doch nicht. Entweder eine Menge ist unendlich, oder
sie ist unendlich, und zwar per Definition, Punkt aus.

unendlich oder endlich natürlich.

Oliver

[Gerhard_Kemme_85f67c]

Hallo,

Das stimmt doch nicht. Entweder eine Menge ist unendlich, oder
sie ist unendlich, und zwar per Definition, Punkt aus. Wenn
die Umgangssprache etwas anderes suggeriert, darf man sich
eben nicht irreleiten lassen.

Mathematik hat aber auch etwas mit Logik und Genauigkeit zu tun. Die Verwendung von irreführenden Bedeutungen beim Definieren eines mathmatischen Gegenstandes wirkt unklug. Die Mathematik kann nicht auf allgemeinverständliche Sprache verzichten und wird sich der Kritik stellen müssen, wenn sie alle Bedeutungen durcheinander würfelt.

Die Bezeichnung „unendlich“ bezieht sich darauf, daß eine
Durchzaehlung aller Elemente eben nicht abbricht, sondern
„unendlich“ weiter geht.

Nur die Aussage ist schlichtweg falsch und überholt. Die Durchzählung bricht irgendwo ab und geht keinesfalls „unendlich“ weiter. Man könnte es mit einem zählenden Menschen vergleichen, irgendwann kommt es zu Ungenauigkeiten, es fehlen die Bezeichnungen „fünfmillionendreihundertfünfundsiebzigtausendneunhundertdreiunddreizig“ für 5 375 933. Man möge sich diese Zahlen dann für 10¹⁰⁰ oder 1000! vorstellen.

Im Fachjargon: es gibt keine
Bijektion von der betrachteten Menge nach einer endlichen
Teilmenge von N.

Wenn du dies formulierst, verwendest du viele allgemeinverständliche Vokabeln und einige Fachvokabeln. Wenn jetzt jemand mit „Definitionshoheit“ die Vokabel betrachten als Steine stapeln definierte, dann wäre dies nach landläufigem Verständnis ziemlicher Unsinn. Die Monierung setzt ja an der Stelle ein, wo behauptet wird, die „unendliche Menge“ der Natürlichen Zahlen sei abzählbar, d.h. es gäbe immer die Nachfolger-Relation. Auch die Mathematik hat sich der Öffentlichkeit gegenüber als logisch nachvollziehbar zu präsentieren, sonst bekommt sie den Stempel der puren Phantasterei oder gar Irreführung.

Der Zahlenstrahl ist ja ohnehin nur zur Veranschaulichung von
Mengen wie R oder N geeignet.

Dann stelle dir einmal einen „unendlichen“ Zahlenstrahl von IN vor. Wie gesagt, muss es dann möglich sein, für Zahlen, die das gesamte Universum füllen, jeweils einen Nachfolger zu finden. Hirnrissig, findest du nicht auch?

Es gibt auch „perfekte“ Zahlen, und das ist umgangssprachlich
ebenso irreführend, da diese bestimmt auch ein paar Macken
haben…

Es gibt ja auch Gruppen , Körper etc. nur diese Bezeichnungsweisen drücken keine mathematischen Irreführungen aus.

Warum setzt du eigentlich Umgangssprache fortwährend mit
Fachsprache gleich und beklagst dich, daß das so nicht im
„alten Grimm von 1815“ steht (überspitzt ausgedrückt)?

Weil ich etwas moniere, dass die Wissenschaft Mathematik bei falschen Begrifflichkeiten der Vergangenheit verharrt. Das neue Informatik-Wissen der Endlichkeit von Speicherkapazität sollte Berücksichtigung finden. Auch Fachsprache baut auf Verständigung und nicht auf Irreführung.

Entsprechend wäre die
Aussage, ich säße vor einem PC mit unendlicher
Speicherkapazität ebenfalls eine Irreführung.

Sagt ja auch keiner, weil es mit Sicherheit falsch wäre.

Und woher nimmst du dann die Annahme, dass die der Spezies Mensch in seinem „Universum“ zur Verfügung stehende „Speicherkapazität“ „unendlich“ sei?

Die Unendlichkeit der menschlichen Seinsumgebung bezüglich der
Speicherung von unendlich vielen Zahlen in IN, bzw. von
unendlich mal unendlich vielen Zahlen in IR muss erstmal
bewiesen werden.

Wovon redest du überhaupt? Gehört das nicht ins
Philosophie-Brett? Was willst du sagen?

Die Begrifflichkeit „unendliche Mächtigkeit“ stößt auf Kritik. Deren Erörterung wäre sicherlich eine Thematik innerhalb der Mathematik. Sonst sind wir schnell bei theoriefeindlichen Winkelzügen der Art: „Kritik? Aber bitte nicht hier!“ Es geht einfach darum, dass die Grenzen der Spezies Mensch nicht völlig unreflektiert als „unendlich“ angenommen werden.

MfG Gerhard Kemme

[Zwergenbrot]

Es geht doch nicht um die Anzahl der Atome im Universum und den ganzen Kram.
Der „größte“ Teil der Mathematik baut heutzutage auf dem Axiomsystem von Zermelo und Franklin auf. Plus das Auswahlaxiom natürlich.

Eines dieser Axiome besagt:

Es gibt eine Menge A, die die leere Menge und mit jedem Element x auch die Menge „x vereinigt mit der Menge {x}“ enthält.
(Symbole drücken das noch schöner aus).

Mit anderen Worten besagt dieses Axiom: Es gibt eine abzählbarunendliche Menge A. (natürlich sind die Formulierungen nicht hundertprozentig äquivalent).

Die Mathematik äußert sich jetzt aber im Gegensatz zu Deiner Annahme nicht darüber, ob eine solche Menge existiert. Das ist dem Mathematiker völlig egal. Dem ist sogar egal, ob es überhaupt Mengen gibt.
Die Mathematik äußert sich nur darüber, was passiert, wenn es eine solche Menge gibt.
Und wahrscheinlich gibt es auch Zweige der Mathematik die sich darüber äußern, was passiert, wenn es eine solche Menge nicht gibt.

Du kannst natürlich jederzeit die Axiome anzweifeln. Da ist ja z.B. noch das Auswahlaxiom, welches man so gerne beschießt. Oder Du wählst Dir ein anderes Axiom aus.
Das ändert aber nix daran, dass gute, sinnvolle Mathematik herauskommt, wenn man die Axiome verwendet.

Es macht keinen Sinn „unendlich“ als sinnlos zu bezeichnen, wenn die Resultate sehr brauchbar sind. Versuch erstmal eine Mathematik auf die Beine zu stellen, die ohne unendliche Mengen auskommt. Da wäre ich gespannt drauf.

Beste Grüße,
Zwergenbrot

[Oliver_T]

Hallo,

Das stimmt doch nicht. Entweder eine Menge ist unendlich, oder
sie ist unendlich, und zwar per Definition, Punkt aus. Wenn
die Umgangssprache etwas anderes suggeriert, darf man sich
eben nicht irreleiten lassen.

Mathematik hat aber auch etwas mit Logik und Genauigkeit zu
tun. Die Verwendung von irreführenden Bedeutungen beim
Definieren eines mathmatischen Gegenstandes wirkt unklug. Die
Mathematik kann nicht auf allgemeinverständliche Sprache
verzichten und wird sich der Kritik stellen müssen, wenn sie
alle Bedeutungen durcheinander würfelt.

Diese Sprachbezeichnung ist etabliert. Wenn es dir lieber ist, dann sage eben „unvorstellbar“ statt „unendlich“. Ich denke, das trifft es für dich wohl eher. Du scheinst das Wesentliche nicht zu erkennen: namen sind Schall und Rauch. Die mathematischen Zusammenhänge behalten ihre Gültigkeit auch, wenn du alles mit Kunstbegriffen formulierst. Wenn du dich mit anderen unterhältst, solltest du dann aber deinen tragbaren Übersetzer dabei haben.

Die Bezeichnung „unendlich“ bezieht sich darauf, daß eine
Durchzaehlung aller Elemente eben nicht abbricht, sondern
„unendlich“ weiter geht.

Nur die Aussage ist schlichtweg falsch und überholt. Die
Durchzählung bricht irgendwo ab und geht keinesfalls
„unendlich“ weiter. Man könnte es mit einem zählenden Menschen
vergleichen, irgendwann kommt es zu Ungenauigkeiten, es fehlen
die Bezeichnungen
„fünfmillionendreihundertfünfundsiebzigtausendneunhundertdreiunddreizig“
für 5 375 933. Man möge sich diese Zahlen dann für
10¹⁰⁰ oder 1000! vorstellen.

Das ist totaler Quatsch. Was überholt ist und was nicht, bestimmst doch nicht du. Ich muß mir nicht alle natürlichen Zahlen vorstellen können, um zu kapieren, daß es noch eine größere neben der 100! gibt.

Im Fachjargon: es gibt keine
Bijektion von der betrachteten Menge nach einer endlichen
Teilmenge von N.

Wenn du dies formulierst, verwendest du viele
allgemeinverständliche Vokabeln und einige Fachvokabeln. Wenn
jetzt jemand mit „Definitionshoheit“ die Vokabel
betrachten als Steine stapeln definierte, dann
wäre dies nach landläufigem Verständnis ziemlicher Unsinn. Die
Monierung setzt ja an der Stelle ein, wo behauptet wird, die
„unendliche Menge“ der Natürlichen Zahlen sei abzählbar, d.h.
es gäbe immer die Nachfolger-Relation.

Nur zur Klärung: Abzählbarkeit hat zunächst nicht mit Nachfolgerelationen zu tun. Mengen wie die der rationalen Zahlen Q oder N^2,n^3 etc. sind ebenfalls abzählbar, haben aber kein Nachfolgerkonzept, oder was ist der Nachfolger von 1/2?
Es wäre sinnvoll, sich etwas mehr Fachkenntnisse anzueignen, bevor du hier selbstbewußt Kritik an an der Semantik übst.

Auch die Mathematik hat
sich der Öffentlichkeit gegenüber als logisch nachvollziehbar
zu präsentieren, sonst bekommt sie den Stempel der puren
Phantasterei oder gar Irreführung.

Den Vorwurf gebe ich gerne zurück an Möchtegern-Selbstgelehrte, die auf Seiten wie http://kemme.de.vu hahnebüchene Hypothesen formulieren und der ganzen Welt sagen wollen: ich bin der einzige, der die Zusammenhänge der Natur wirklich verstanden hat!

Und das Beste: das alles geht natürlich ganz ohne Ausbildung! Ein wenig Nachdenken zu stiller Stunde reicht, und schon spart man sich jahrelanges Studium mit all den unangenehmen Prüfungen, Lehrbüchern, Diplomarbeiten. Es ist immer wieder das Gleiche, und da regt mich einfach maßlos auf. Die „reaktionären Wissenschaftler“ sind dann die „Engstirnigen“, die nicht flexibel genug denken können etc etc etc., nur weil sie von der zehnmillionsten Wiederbelebung der Äthertheorie nichts wissen wollen.

Warum schießen sich diese Leute eigentlich immer auf die alten Standardhauer Relativitätstheorie, Urknall, schwarze Löcher und Unendlichkeit ein? Warum nicht mal zur Abwechslung auf algebraische Topologie, Kategorientheorie oder Vielteilchentheorie? Wahrscheinlich, weil man durch bloßes Dasitzen und Sinnieren gar nicht draufkäme, daß es sowas überhaupt gibt!

Ich rechne dir wenigstens hoch an, daß du dich nicht wie andere hinter einem Pseudonym versteckst, aber sei mir nicht böse, wenn ich hier abbreche, weil ich sehe, daß diese Diskussion wie zahllose zuvor in diesem Forum mal wieder zu nichts führt.

Im übrigen: falls du dich ohnehin eher für die ontologischen Aspekte der Unendlichkeit interessiert, bist du wahrscheinlich im Philosophie-Brett besser aufgehoben.

Viele Grüße

Oliver

[Martin]

Hallo Zwergenbrot,

Axiomsystem von Zermelo und Franklin

ein dezenter Hinweis in der Hoffnung, damit nicht (allzu) „schlaumeierisch“ rüberzukommen: der zweitgenannte Herr heißt mit Nachnamen „Fraenkel“.

Wikipedia-Artikel zu seiner Person und zur „ZF“:

http://de.wikipedia.org/wiki/Abraham_Adolf_Fraenkel
http://de.wikipedia.org/wiki/Zermelo-Fraenkel-Mengen…

Gruß
Martin

[Zwergenbrot]

Oh, dankeschön.
Ist nen Expertenforum, da ist darf man schlaumeiern, wenn man recht hat.
Also nochmal danke,

Zwergenbrot

[Zwergenbrot]

Hallo,

ja ja, die Emotionen. Ich stimme Dir ja in vielem zu (wenn auch weniger aufgebracht ). Aber eine Frage hätte ich da doch noch.

Nur zur Klärung: Abzählbarkeit hat zunächst nicht mit
Nachfolgerelationen zu tun. Mengen wie die der rationalen
Zahlen Q oder N^2,n^3 etc. sind ebenfalls abzählbar, haben
aber kein Nachfolgerkonzept, oder was ist der Nachfolger von
1/2?
Es wäre sinnvoll, sich etwas mehr Fachkenntnisse anzueignen,
bevor du hier selbstbewußt Kritik an an der Semantik übst.

Ich würde schon sagen, dass Abzählbarkeit was mit Nachfolgeralationen zu tun hat. So heißt eine Menge i.A. genau dann abzählbar, wenn sie zu einer Teilmenge der natürlichen Zahlen gleichmächtig ist (bzw. eine Bijektion zw. der Menge und einer nat. Zahl ex.).
Verstehen wir die nat. Zahlen in diesem Zusammenhang mal wie es wohl angeblich der Neumann def. hat. Nämlich induktiv:
Null ist die leere Menge.
Eins ist die leere Menge vereinigt mit der Menge der leeren Menge
Zwei ist eins vereinigt mit der Menge, die genau eins enthält usw.
Dann ergeben sich auf diese Weise die natürlichen Zahlen.
Im ZF-Axiomsystem ist die Existenz der Menge festgelegt, die alle nat. Zahlen enthält (na etwas allgemeiner, aber im wesentlichen schon).
Bei Peano ist es praktisch das selbe Axiom. Nur schreibt man hier meist nicht so förmlich, was der Nachfolger sein soll.

Da Endlichkeit über nat. Zahlen definiert ist und nat. Zahlen über „Nachfolger“ oder vollst. Induktion oder wie auch immer def. sind, würde ich hier einen Zusammenhang der Begriffe nicht gänzlich ausschließen.

Der Nachfolger von 1/2 könnte z.B. 2 = 2/1 sein. Bei abzählbaren Mengen kann man durchaus durchnummerien und somit vom Nachfolger sprechen. Dass das nicht unbedingt zu einer „sinnvollen“ Ordnung führt, muss ja nicht stören.

Ansonsten pflichte ich Dir bei (wenn auch weniger emotional).
In diesem Sinne, noch einen entspannten Abend,
Zwergenbrot
(bzw. wenn Dich Nicknames stören: Philipp, der sich schon sehr auf die Logik-Vorlesung nächstes Semester freut, um endlich Klarheit über diesen Gödelkram zu gewinnen und der dem Begriff der „Klasse“ immernoch sehr unwissend gegenüber steht.)

[Gerhard_Kemme_85f67c]

Hallo,

Diese Sprachbezeichnung ist etabliert. Wenn es dir lieber ist,
dann sage eben „unvorstellbar“ statt „unendlich“.

Schon mal etwas über Wissenschaftstheorie gehört, z.B. über Versuche der Falsifizierung von Aussagen (Popper). Es geht nicht um eine persönliche Ebene, sondern um Weiterentwicklung von Wissenschaft durch permanente Qualitätskontrolle. Dies ist wie in der Politik, wenn Missstände auftreten gibt es Protest. Wenn sich irreführende Begriffe in das Bewusstsein der Bevölkerung einprägen, so geht das jeden Staatsbürger an, sonst ticken wir bald alle nicht mehr richtig.

Ich denke, das trifft es für dich wohl eher. Du scheinst das
Wesentliche nicht zu erkennen: namen sind Schall und Rauch.

Worte sind wichtige Mittel zur Bewusstseinslenkung der Bevölkerung. Bei Romanen wird jeder Name von Protagonisten mit Bedacht gewählt, um bestimmte Stimmungen zu erzeugen.

Die mathematischen Zusammenhänge behalten ihre Gültigkeit auch,
wenn du alles mit Kunstbegriffen formulierst.

Nur sind sie dann nicht mehr darstell- und kommunizierbar.

Wenn du dich mit anderen unterhältst, solltest du dann aber deinen
tragbaren Übersetzer dabei haben.

Den wirst sicherlich du brauchen, wenn du von unendlichen Mengen redest. Andere reden dann von einem unendlich langen Weg, oder von unendlich viel Zeit bis Feierabend. Ganz locker, macht doch nix.

Das ist totaler Quatsch. Was überholt ist und was nicht,
bestimmst doch nicht du.

Dies wäre eine Frage nach der Einheitswissenschaft oder nicht. Es gibt ein ziemlich mächtiges Instrument, das langfristig eine Verfestigung von unsinnigen Aussagen verhindert: Wahrheitsfindung per Anwendung logischer Argumentation.

Ich muß mir nicht alle natürlichen Zahlen vorstellen können, um zu
kapieren, daß es noch eine größere neben der 100! gibt.

Da könntest du dir dann aber ziemlich schnell auch wesentlich höhere Zahlen vorstellen, für die du dann immer noch größere finden musst. Wenn du jetzt den gesamten Bildschirm mit Neunen vollschriebest und dahinter ein Fakultätzeichen machen würdest, dann geht es langsam mit dem vollmundigen Bestehen auf den locker benutzten Begriff „Unendlichkeit“ zuende. Es werden Wiederholungen, gemeint ist die Vorstellung vom gesamten Universum gefüllt mit den Stellen einer natürlichen Zahl und davon dann der Nachfolger. Wenn es Freude macht kann man auch nach der Zahl erstmal ein Fakultätszeichen setzen und vom Resultat dann den Nachfolger theoretisch als existent bezeichnen wollen.

Nur zur Klärung: Abzählbarkeit hat zunächst nicht mit
Nachfolgerelationen zu tun. Mengen wie die der rationalen
Zahlen Q oder N^2,n^3 etc. sind ebenfalls abzählbar, haben
aber kein Nachfolgerkonzept, oder was ist der Nachfolger von
1/2?

Für die Frage nach der Existenz von unendlich großen Zahlenmengen ziehe ich nicht sofort die kompliziertere Zahlenart heran, sondern versuche immer anhand des Einfachsten eine Klärung herbeizuführen.

Es wäre sinnvoll, sich etwas mehr Fachkenntnisse anzueignen,
bevor du hier selbstbewußt Kritik an an der Semantik übst.

Du rutscht immer schnell auf die persönliche Ebene. Mathematik erfordert auch die Fähigkeit zum Transfer und zur Anwendung logischer Überlegung. Sonst ist das alles pures Auswendiglernen von lexikalischem Wissen - eine niedrige Lernebene, verglichen mit dem Niveau, das an wissenschaftlichen Hochschulen erwartet wird.

Den Vorwurf gebe ich gerne zurück an
Möchtegern-Selbstgelehrte, die auf Seiten wie
http://kemme.de.vu hahnebüchene Hypothesen formulieren und der
ganzen Welt sagen wollen: ich bin der einzige, der die
Zusammenhänge der Natur wirklich verstanden hat!

Ich habe an der Universität Hamburg Mathematik auf Lehramt studiert und fünfzehn Jahre unterrichtet. Du bist etwas vorschnell mit deinen Behauptungen. Insbesondere beachtest du die methodische Vorgehensweise nicht, einen Sachverhalt zu durchdenken. Du hast was falsch verstanden, es gibt nicht die Einheitswissenschaft, die von einer allseits anerkannten Institution verkündet wird. Wissenschaft ist Ergebnis eines Kommunikationsprozesses von vielen Fachleuten. Ansonsten wirst du schnell persönlich beleidigend und demontierst dich damit als mathematischer Fachwissenschaftler.

Und das Beste: das alles geht natürlich ganz ohne Ausbildung!

Wenn du halb soviel Ausbildung und ein viertel von meiner Praxis hättest, dann wärest du als Fachmann schon ganz gut. Also - spinn nicht rum!

Warum schießen sich diese Leute eigentlich immer auf die alten
Standardhauer Relativitätstheorie, Urknall, schwarze Löcher
und Unendlichkeit ein?

Weil hier krasse Fehler drin stecken und u.a. den Menschen vorgegaukelt wird, dass es Weltraumreisen zu anderen Sternen aufgrund der Ablehnung von Überlichtgeschwindigkeit nicht geben kann.

MfG Gerhard Kemme

[Oliver_T]

Hallo,

ja ja, die Emotionen. Ich stimme Dir ja in vielem zu (wenn
auch weniger aufgebracht ).

Ist doch wahr Mensch!!

Da Endlichkeit über nat. Zahlen definiert ist und nat. Zahlen
über „Nachfolger“ oder vollst. Induktion oder wie auch immer
def. sind, würde ich hier einen Zusammenhang der Begriffe
nicht gänzlich ausschließen.

Natürlich gibt es einen Zusammenhang: nur abzählbare Mengen können wohlgeordnet sein.

Der Nachfolger von 1/2 könnte z.B. 2 = 2/1 sein. Bei
abzählbaren Mengen kann man durchaus durchnummerien und somit
vom Nachfolger sprechen. Dass das nicht unbedingt zu einer
„sinnvollen“ Ordnung führt, muss ja nicht stören.

Daß die Menge N der natürlichen Zahlen abzählbar ist, ist klar. N ist aber noch mehr: N ist wohlgeordnet, d.h. jede Teilmenge von N hat ein kleinstes Element. Hier hast du Nachfolgerrelationen. Aber die Menge der rationalen Zahlen Q ist beispielsweise nicht wohlgeordnet. Daher keine Nachfolgerrelation.

Was du machst ist, eine Bijektion nach N zu definieren, um so „eine Wohlordnung“
zu bekommen. Aber die bekommst du nicht: Wohlordnung ist eine Eigenschaft der Menge, unabhängig von Bijektionen. Mit deiner Methode wäre ja das kleinste Element einer Teilmenge von Q völig willkürlich festzulegen, je nachdem, auf welche natürliche Zahl abgebildet wird.

Ansonsten pflichte ich Dir bei (wenn auch weniger emotional).
In diesem Sinne, noch einen entspannten Abend,
Zwergenbrot
(bzw. wenn Dich Nicknames stören: Philipp, der sich schon sehr
auf die Logik-Vorlesung nächstes Semester freut, um endlich
Klarheit über diesen Gödelkram zu gewinnen und der dem Begriff
der „Klasse“ immernoch sehr unwissend gegenüber steht.)

Viel Spaß dann! Ich habe übrigens nichts gegen Pseudonyme, das ist in der heutigen Online-Welt ja auch OK, sonst wird man nachher noch zugespammt. Aber es gibt schon ein paar Gestalten hier im Forum, die sich dahinter verstecken und nur Mumpitz absondern. Ich sage explizit dazu: Gerhard gehört für mich nicht dazu! Er hat lediglich nicht viel Ahnung von der Sache.

Ich verlange auch nicht von jedem, daß er zuerst mal Physik oder Mathematik studieren soll, bevor er sich hier äußert. Nur darf er sich dann nicht wundern, wenn er auf Gegenwind stößt, wenn er hier seine Phantastereien ausstößt.

Viel Spaß mit dem Gödelkram. Ich empfehle dir übrigens: Oliver Deiser, MEngenlehre, Springer. Eines der am besten geschriubenen Bücher zum Thema.

Viele Grüße

Oliver

[Zwergenbrot]

Hallo,

Was du machst ist, eine Bijektion nach N zu definieren, um so
„eine Wohlordnung“
zu bekommen. Aber die bekommst du nicht: Wohlordnung ist eine
Eigenschaft der Menge, unabhängig von Bijektionen. Mit deiner
Methode wäre ja das kleinste Element einer Teilmenge von Q
völig willkürlich festzulegen, je nachdem, auf welche
natürliche Zahl abgebildet wird.

Halt. Wohlrordnung ist in erster Linie eine Eigenschaft der Ordnungsrealtion, oder? Und die von mir skizzierte Bijektion, imliziert eine (wenn auch nicht sonderlich sinnvolle) Ordnungsrelation, die also hübsch reflexiv, symmetrisch und transitiv ist, genau das, was man von einer Ordnungsrelation erwarten kann. (naja, manchmal nennte man das wohl auch Halbordnung aber wie auch immer).
Die rationalen Zahlen sind bzgl. der Standartordnungsrelation = nicht wohlgeordnet, keine Frage. Aber bzgl. meiner (völlig unsinnigen) Ordnung sind sie es. Das kleinste Element einer gewählten Teilmenge könnte bzgl. einer anderen Relation auch sehr groß sein, keine Frage.

Ich sage nicht, dass meine Bijektion sinn macht. Ich sage nur, dass eine Wohlordnung für die rationalen Zahlen existiert.
Übrigens habe ich nachgelesen und ich habe festgestellt, dass ich Deiner ursprünglichen Aussage „die rationalen Zahlen sind nicht wohlgeordnet.“ gar nicht widerspreche.

Viel Spaß mit dem Gödelkram. Ich empfehle dir übrigens: Oliver
Deiser, MEngenlehre, Springer. Eines der am besten
geschriubenen Bücher zum Thema.

Da werde ich dann wohl mal reinschauen. Danke für den Tip.

Beste Grüße,
Zwergenbrot

[Oliver_T]

Hallo Zwergenbrot,

Halt. Wohlrordnung ist in erster Linie eine Eigenschaft der
Ordnungsrealtion, oder? Und die von mir skizzierte Bijektion,
imliziert eine (wenn auch nicht sonderlich sinnvolle)
Ordnungsrelation, die also hübsch reflexiv, symmetrisch und
transitiv ist, genau das, was man von einer Ordnungsrelation
erwarten kann. (naja, manchmal nennte man das wohl auch
Halbordnung aber wie auch immer).
Die rationalen Zahlen sind bzgl. der Standartordnungsrelation
= nicht wohlgeordnet, keine Frage. Aber bzgl. meiner
(völlig unsinnigen) Ordnung sind sie es. Das kleinste Element
einer gewählten Teilmenge könnte bzgl. einer anderen Relation
auch sehr groß sein, keine Frage.

Du hast recht. Ich mußte gerade selbst wieder einmal in das von mir empfohlene Buch reinschauen: Der Wohlordnungssatz von Zermelo besagt ja sogar, daß jede Mange wohlgeordnet werden kann.

Also hat Wohlordnung mit Mächtigkeit überhaupt nichts zu tun! Das hatte ich falsch in Erinnerung, ist auch schon länger her.

Ich sage nicht, dass meine Bijektion sinn macht. Ich sage nur,
dass eine Wohlordnung für die rationalen Zahlen existiert.
Übrigens habe ich nachgelesen und ich habe festgestellt, dass
ich Deiner ursprünglichen Aussage „die rationalen Zahlen sind
nicht wohlgeordnet.“ gar nicht widerspreche.

Müßtest du doch jetzt aber eigentlich.

Viele Grüße

Oliver

[Zwergenbrot]

Hallo Oliver,

Du hast recht. Ich mußte gerade selbst wieder einmal in das
von mir empfohlene Buch reinschauen: Der Wohlordnungssatz von
Zermelo besagt ja sogar, daß jede Mange wohlgeordnet werden
kann.

Sowas hab ich auch mal gehört. Den Beweis dafür muss ich mir aber nochmal ansehe, damit ich das glauben kann.

Müßtest du doch jetzt aber eigentlich.

Naja, die „natürliche“ Ordnung der rationalen Zahlen, ist ja keine Wohlordnung. Da hast Du ja nunmal recht.

Aber ich glaube, wir haben’s jetzt.

Beste Grüße,
Zwergenbrot