Hallo, Andreas!
Auf „praktischem Wege“ ergibt sich für die Beantwortung deiner 1ten Frage:
Im magischen 3*3 - Quadrat treten ja alle Zahlen von 1 - 9 auf, deren Summe = 45.
Das heißt, die Summe in jeder einzelnen Zeile (und auch Spalte) ist 45:3 = 15, da ja alle Summen gleich sind.
In jedem Feld kann, zunächst einmal allgemein, ja jede Zahl stehen.
Macht man nun eine Tabelle, welche Dreier-Kombinationen zu jeder gewählten ersten Ziffer als Summe 15 ergeben, so ergibt sich:
1 + 9 + 5
1 + 8 + 6
1 + 7 + 7, die ja nicht möglich ist, wegen der 2 sieben.
2 + 9 + 4
2 + 8 + 5
2 + 7 + 6 und danach nur noch in anderer Reihenfolge
3 + 9 + 3, ungültig, siehe oben
3 + 8 + 4
3 + 7 + 5
3 + 6 + 6, ungültig, siehe oben
4 + 9 + 2
4 + 8 + 3
4 + 7 + 4. ungültig, siehe oben
4 + 6 + 5
5 + 9 + 1
5 + 8 + 2
5 + 7 + 3
5 + 6 + 4
5 + 5 + 5, ungültig wegen 3 Fünfen
man stellt fest, daß es bei ungeraden 1ten Zahlen immer 2 unterschiedliche Möglichkeiten und bei geraden 1ten Zahlen immer 3 unterschiedliche Möglichkeiten gibt.
Und nur zu der 5 deren 4.
Kukt man sich nun das Quadrat selbst an, so sieht man, daß es zu der Zahl in der Mitte 4 Möglichkeiten geben muß (horiz., vertikal, und 2mal diagonal).
Da muß also die 5 hin.
Zu den Zahlen an den Ecken muß es jeweils 2 Möglichkeiten geben, also müssen dort die geraden Zahlen hin.
Und die übrigbleibenden uneraden Zahlen mit ihren jeweils 3 Möglichkeiten passen dann genau in die Felder außen rum jeweils in der Mitte.
KONSTRUKTION ALSO:
Die 5 ins Zentrum.
Die 2 irgendwo in die Ecke. Also die 8 gegenüber in die Ecke.
Die 4 (oder die 6 denn mehr gerade sind da nicht) in eine der beiden freien Ecken (welche ist egal, denn das magische Quadrat ist ja beliebig dreh/klappbar).
Die 6 (oder die 4) in die Ecke gegenüber.
Dann nur noch zu 15 jeweils ausfüllen.
Nun kann man das Quadrat ja beliebig drehen und klappen, und die (gleichbleibenden) Summen ja dabei mit.
Diese „konstruktive“ Methode ist allerdings bei 4*4 - Quadraten nicht mehr praktikabel.
Das heißt, hält man eine Zahl in einer Ecke fest, so gibt es dazu bis auf Spiegelung auch nur 1 Lösung, mit Spiegelung 2 Lösungen. Da jedes Lösungsquadrat 4 Drehstellungen hat, gibt es also genau 2*4 = 8 Lösungen.
Frage 2
Gibt es eine Formel, um a) die Anzahl und b) die Form der
Kombinationen auszurechnen?: SIEHE OBEN!!!
Frage 3
Kann man auch berechnen, mit vielen anderen Zahlen (Ganze oder
Fließkommazahlen) das selbe Magische Quadrat zu lösen wäre?
Voraussetzung: es müssen 9 verschiedene Zahlen sein?:
Da fehlt wohl des Wort „wieviel“ (vielen anderen Z), oder?
Geh doch mit der von mir vorgeschlagenen Methode selbst mal dran!
Das geht auf jeden fall sehr ins Einzelne, und eine allgemeine Lösungsformel (außer den oben benutzten) gibts glaube ich nicht.
Frage 4
Wie sieht es aus, wenn bekannt ist, dass es sich um 12
verschiedene Zahlen handelt, die jeweils 3 mal vorkommen und
ein Quadrat auf 6 x 6 bilden… Weiterhin ist nur die
Anordnung in Form von Symbolen bekannt, aber nicht die
Zahlenwerte…
Also zum Beispiel
a b c d e f
f g a d i m
k i c a …
usw. Und nun möchte man herausfinden, welcher Buchstabe zu
welcher Zahl geghört (beliebige Ganze oder Fließkommazahl)…
Man weiß nur, dass es ein Magisches Quadrat ergibt… Kann man
sowas überhaupt berechnen? Gibt es dafür Formeln, wie lang
würde man brauchen?
PS: Brauche dies als Recherche für ein Buch…:
WIE SCHON GESAGT: Selbst p r a k t i s c h ausprobieren.
„Schneller verstehen“ kann man gar nicht. Also auch nicht „schneller erklären“!!!
moin, manni