Ist durchmultiplizieren mit der Zahl i eine Äquivalenzumforung?
Ist durchmultiplizieren mit der Zahl i eine
Äquivalenzumforung?
Hallo,
Ja, denn wenn man dann mit -i durchmultipliziert hat man wieder die ursprüngliche Gleichung
Grüße,
Moritz
Hallo
Ist durchmultiplizieren mit der Zahl i eine
Äquivalenzumforung?
Ja:
i * (a + b*i) = i*a + i*b*i = a*i + b*i² = a*i + b*(-1)^0,5*(-1)^0,5 =
a*i + b*(-1) = a*i - b = -b + a*i
Nunmehr forme ich den Ausdruck -b + a*i so um, dass möglischst wieder
i * (a + b*i) heraus kommt:
-b + a*i = i * (-b + a*i)/i = i * i*(-b + a*i)/i² = i * i*(b - a*i) =
i * (b*i - a*i²) = i * (b*i + a) = i * (a + b*i) okay, wobei jeweils
i² = i*i = (-1)^0,5 * (-1)^0,5 = -1 ist.
MfG Gerhard Kemme
kleine Korrektur
Hallo
i² = i*i = (-1)^0,5 * (-1)^0,5 = -1 ist.
Man darf i nicht als (-1)^0.5 schreiben, da man sonnst
-1 = i*i = (-1)^0.5 * (-1)^0.5 = (+1)^0.5 = 1
erhalten würde. Also: auch bei komplexen Zahlen müßen Radikanten positiv sein.
Grüße,
Moritz
Hallo
i² = i*i = (-1)^0,5 * (-1)^0,5 = -1 ist.
Man darf i nicht als (-1)^0.5 schreiben, da man sonnst
-1 = i*i = (-1)^0.5 * (-1)^0.5 = (+1)^0.5 = 1
erhalten würde. Also: auch bei komplexen Zahlen müßen
Radikanten positiv sein.
Bitte - dies wäre eine Frage, die ich an weitere Experten weiterleiten möchte. Nach meinem Wissen ist „i“ als (-1)^0,5 definiert. Die von dir formulierte Zeile:
-1 = i*i = (-1)^0,5 * (-1)^0,5 = (+1)^0,5 = 1 Stimmt nicht
Richtig wäre: -1 = i*i = (-1)^0,5 * (-1)^0,5 = (-1)^(0,5 + 0,5) = -1
MfG Gerhard Kemme
Hallo
i² = i*i = (-1)^0,5 * (-1)^0,5 = -1 ist.
Man darf i nicht als (-1)^0.5 schreiben, da man sonnst
-1 = i*i = (-1)^0.5 * (-1)^0.5 = (+1)^0.5 = 1
erhalten würde. Also: auch bei komplexen Zahlen müßen
Radikanten positiv sein.Bitte - dies wäre eine Frage, die ich an weitere Experten
weiterleiten möchte. Nach meinem Wissen ist „i“ als (-1)^0,5
definiert. Die von dir formulierte Zeile:
-1 = i*i = (-1)^0,5 * (-1)^0,5 = (+1)^0,5 = 1 Stimmt
nichtRichtig wäre: -1 = i*i = (-1)^0,5 * (-1)^0,5 = (-1)^(0,5 +
0,5) = -1
Die Sache ist nicht ganz so einfach. So ohne Zusatzbemerkungen ist der Ausdruck (-1)0.5 überhaupt nicht definiert. Problemlos sind Wurzeln und im Allgemeinen rationale Potenzen nur für positive Zahlen definiert. x0.5 ist als die einzige positive Zahl definiert, welche die Gleichung y2=x erfüllt. Eine Erweiterung dieser Definition auf beliebige reelle Exponenten ist mit Hilfe der Exponentialfunktion und dem Logarithmus möglich. Für nicht positive reelle Zahlen kann das aber nicht einfach fortgesetzt werden. In diesem Sinne ist auch die Gleichung i=(-1)0.5 nicht richtig. i wird als eine der beiden Zahlen definiert, welche die Gleichung x2=(-1) erfüllt. Die andere Lösung ist dann einfach -i.
Es gibt aber trotzdem die Möglichkeit rationale Potenzen (oder auch hier reelle Potenzen) zu definieren. Diese Festlegungen ist aber nicht mehr so einfach möglich, wie bei positiven Zahlen. Man wählt dazu einen sogenannten Zweig des Logarithmus (eine lokale Umkehrfunktion der Exponentialfunktion auf C) und definiert damit Potenzen relativ zu diesem Zweig. Je nach Zweig des Logarithmus erhalten wir eine andere Potenzfunktion. Zum Beispiel gilt bei der Wahl von gewissen Zweigen (-1)0.5=i, bei anderen Zweigen dagegen (-1)0.5=-i.
Das Problem ist, dass für diese Potenzen nicht mehr automatisch alle Potenzgesetze gelten, die man sich gewohnt ist. Deshalb ist kommt bei der Gleichung von Moritz auch etwas falsches heraus, weil er einfach die bekannten Potenzgesetze angewendet hat, die nicht gelten.
Kurz zusammengefasst, man darf zwar (-1)0.5 schreiben, aber es ist wichtig vorher zu sagen, welche Zweig man wählt (idealerweise würde diese Wahl auch in die Notation eingehen), und man darf nicht dem Irrtum erliegen, dass die so definierten Potenzen alle Eigenschaften der Potenzen auf positiven Zahlen entspricht.
In der Hoffnung, nicht alle verwirrt zu haben:
Gruss Urs
komplexe Potenzen
Hallo,
Die Potenz zweier komplexer Zahlen z,w, wobei z die Darstellung z=r*exp(iφ) habe, ist doch definiert als:
zw = exp[w*log(z)] = exp[w*(ln®+i*φ+i*2πk)]
Gibt es da irgendeine Konvention welches φ und welches k da zu wählen ist?
Wenn nicht, dann ist doch die Darstellung zw falsch , weil nicht sie nicht eindeutig ist, oder?
Gruß
Oliver
Hallo
Die Potenz zweier komplexer Zahlen z,w, wobei z die
Darstellung z=r*exp(iφ) habe, ist doch definiert als:zw = exp[w*log(z)] =
exp[w*(ln®+i*φ+i*2πk)]Gibt es da irgendeine Konvention welches φ und welches k
da zu wählen ist?
Wenn nicht, dann ist doch die Darstellung zw falsch
, weil nicht sie nicht eindeutig ist, oder?
Ganz so einfach ist es nicht. Dazu einige Bemerkungen:
- Wie bereits erwähnt ist der Logarithmus für komplexe Zahlen nicht eindeutig definiert, und je nach Wahl des Zweiges des Logarithmus kommt eine andere Potenz raus. Das drückt sich in Deiner Formel in der Wahl von k aus. Eine Konvention gibt es nicht und ist auch nicht sinnvoll. Es gibt keinen Grund zum Beispiel (-1)0.5=i der Variante (-1)0.5=-i vorzuziehen (entsteht je nach Wahl eines geraden oder ungeraden k). Analog verhält es sich mit anderen Potenzen. Welche der n Lösungen der Gleichung xn=w soll die richtige sein. Man muss also im konkreten Fall sich immer auf einen Zweig festlegen.
- Wie die vorangehenden Bemerkungen nahelegen, ist ohne Zusatzbemerkungen der Ausdruck zw tatsächlich nicht wohldefiniert und man sollte ihn eigentlich (ausser im Fall z>0, wo es eine Konvention gibt) nicht hinschreiben.
- Selbst nach der Wahl eines Zweiges des Logarithmus (konkret eines k) ist Vorsicht angesagt, denn nicht alle Potenzgesetze für Potenzen von positiven Zahlen lassen sich übertragen. Dies ist übrigens der Grund für einige scheinbare Widersprüche in Formeln mit Potenzen.
Gruss Urs
Hallo.
Eine Konvention gibt es
nicht und ist auch nicht sinnvoll.
…
Man muss also im konkreten Fall sich
immer auf einen Zweig festlegen.
Ok, danke für die Antwort.
(ausser im Fall
z>0, wo es eine Konvention gibt)
Du meinst sicher Re(z)>0 und Im(z)=0.
Gruß
Oliver
Hallo
(ausser im Fall
z>0, wo es eine Konvention gibt)Du meinst sicher Re(z)>0 und Im(z)=0.
Genau das meine ich. Es ist aber in der Mathematik üblich, das so abzukürzen, wie ich es getan habe. Also z>0 heisst z ist reell und grösser 0 (was ja dann auch Sinn macht).
Gruss Urs