Mal was sportliches - Fußball

Freizeit & Hobby Rätsel
#1

Hallo Rätsler!

(Dieses Rätsel ist hier seit mindestens 103 Tagen nicht aufgetaucht, jetzt traue ich mich, es zu posten… :smile:

Die Außenhülle eines „klassischen“ Fußballs besteht aus gleichseitigen Fünf- und Sechsecken. Wer sich zufälligerweise gerade nicht erinnert, diese sind wie folgt angeordnet:

  • jedes Fünfeck ist von fünf Sechsecken umgeben

  • jedes Sechseck ist von drei Fünfecken und drei Sechsecken umgeben, und zwar abwechselnd.

Und nun zum Problem: Wie viele Fünf- und Sechsecke sind es denn?

Es ist übrigens nicht der Sinn dieses Rätsels, sich zur nächsten öffentlichen Grünanlage zu begeben, einem armen Kind den Fußball wegzunehmen und nachzuzählen. Mich interessiert vielmehr auch die Frage, warum es gerade soviele sind. Brauche ich die gleiche Anzahl, wenn ich nur einen kleinen Fußball benötige (z.B. einen Handball)?

Also, ich erwarte „mathematische“ Antworten.

Viel Spaß

wünscht Ralf *derdamalsvielevieleseitenmitsinenundpythagorenvollgemalthatseufz*

#2

Hallo Ralf!

Also, ich erwarte „mathematische“ Antworten.

Das lohnt wahrscheinlich den Aufwand nicht. Ich vermute, dass nach tagelangem sinenundpythagorenvollgemalthaben rauskommt, dass es keine Kombination aus 5- und 6-Ecken gibt, die sich zu einem regelmäßigen Körper zusammenfügt, sondern dass sich damit nach dem Aufpumpen eine bestmögliche Annäherung an die Kugelform ergibt.

Warum sind es gerade soviele?

Diese Frage verstehe ich nicht.

Brauche ich die gleiche Anzahl, wenn ich nur einen kleinen
Fußball benötige (z.B. einen Handball)?

Eindeutig ja - wenn aus x 5-Ecken und y 6-Ecken eine Kugel angenähert werden kann, dann gilt das unabhängig von der Größe der Kugel, dh ein im Durchmesser halb so großer Ball braucht halb so große Flicken.

Gruß Ralf
*derlieberschätztalsrechnet*

#3

Ich versuchs mal.

Sei E die Anzahl aller Ecken, K die Anzahl aller Kanten und F die Anzahl aller Flächen. F5 die Anzahl der Fünfecke und F6 die Anzahl der Sechsecke.

Damit haben wir 5 Unbekannte.
Um auch nur den Schimmer einer Hoffnung auf eine eindeutige Lösung zu haben, brauchen wir 5 Gleichungen.
Hier die erste:

A) F5+F6=F :wink:

Eine zweite liefert der Eulersche Polyedersatz, der besagt, dass

B) E+F=K+2 (Beweis durch Induktion schenk ich mir hier)

Du hast Recht: Aus Symmetriegründen grenzen an jedes Fünfeck fünf Sechsecke und an jedes Sechseck drei Fünfecke und drei Sechsecke.

Außerdem stoßen an jeder Ecke genau drei Flächen zusammen (wären es zwei oder weniger, so wäre es keine Ecke, und wären es vier oder mehr, so müssten die Winkel kleiner als 90 Grad sein, was bei regelmäßigen Fünf- und Sechsecken nicht der Fall ist)

Uns fehlen immer noch drei Gleichungen. Die kriegen wir durch Zählen:
Erstmal zählen wir die Kanten:
An jedes Fünfeck grenzen 5 Kanten, macht insgesamt F5*5; An jedes Sechseck grenzen 6 Kanten, macht F6*6. Da jede Kante an zwei Flächen stößt, haben wir damit jede Kante doppelt gezählt, also:
C) 5*F5+6*F6 = 2*K

Nun zählen wir analog die Ecken. Wieder trägt jedes Fünfeck 5 und jedes Sechseck 6 Ecken bei. Da aber an jede Ecke drei Flächen stoßen, haben wir jede Ecke dreimal gezählt und erhalten:
D) 5*F5+6*F6 = 3*E

Nun gehen wir alle Fünfecke durch und zählen die daran angrenzenden Sechsecke. Das sind 5*F5, da an jedes Fünfeck 5 Sechsecke grenzen. Da andererseits jedes Sechseck an 3 Fünfecke grenzt, haben wir damit jedes Sechseck dreimal gezählt, also
E) 5*F5=3*F6

Nun gehts ans Auflösen:
A) in B) einsetzen:
E+F5+F6=K+2
mit 6 multiplizieren:
6*E+6*F5+6*F6=6K+12
rechts 3*C) ensetzen:
6*E+6*F5+6*F6=15*F5+18*F6+12
aufräumen:
6*E=9*F5+12*F6+12
2*D) links einsetzen:
10*F5+12*F6=9*F5+12*F6+12
aufräumen:
F5=12
juchuu.
E) liefert dann:
F6=20.

#4

Ich vermute, dass
nach tagelangem sinenundpythagorenvollgemalthaben rauskommt,
dass es keine Kombination aus 5- und 6-Ecken gibt, die
sich zu einem regelmäßigen Körper zusammenfügt

Doch die gibt es, aber wie der Körper heißt weiß ich nicht. Das wußte auch der Entdecker des Buckminsterfullerens nicht und als er deshalb bei einem Mathematiker anrief und ihn fragte, ob es einen regelmäßigen Körper mit 60 Ecken, 12 Fünfecken und 20 Sechsecken gäbe sagte der „Ich könnte Ihnen jetzt alles mögliche erzählen aber ich glaube was Sie da haben ist ein Fußball.“

#5

Spitze (wie immer)! (owT)

#6

Dankeschööööön (auch o.T.)
o.T. sagichdoch

#7

Ich versuchs mal.

‚Ich versuchs mal‘ sagt sie …

ins Schwarze, würde ich sagen. (Ins Fünfeck?!)
Vielen Dank für eine Lösung die ich noch nicht kannte. Wir stellen fest: Fussball ist uninteressant, da berechenbar.

Jetzt bin ich bloß noch gespannt, ob auch jemand mit einer geometrischen (konstruktiven) Lösung ankommt.

Platonisch-polyedrische Grüße,
Ralf

#8

unsportliche Variante …

Doch die gibt es, aber wie der Körper heißt weiß ich nicht.

Seufz. Früher, als wir jeden Winter 20km durch 3m hohen Schnee zur Schule laufen mussten (nicht zu vergessen die Wölfe, die aus den finsteren Wäldern über den zugefrorenen Fluss kamen), da war Geometrie noch eine Wissenschaft. Die Kinder von heute geben nur noch „Fußball“ und „Polyeder“ bei Google ein und …

Gruß, Ralf

#9

konstruktion

Jetzt bin ich bloß noch gespannt, ob auch jemand mit einer
geometrischen (konstruktiven) Lösung ankommt.

Wohlan.
Du, der Du der Generation angehörst, die ohne zu murren morgens vor Sonnenaufgang 20km zur Schule wanderte, wirst sicher ein Ikosaeder konstruieren können. :wink: Das nehmen wir mal.

Bestandsaufnahme: 20 Flächen (gleichseitige Dreiecke), 30 Kanten, 12 Ecken, in denen je 5 Flächen zusammenstoßen.

Davon kappen wir einfach jede Ecke bei 1/3 der Kantenlänge.
Damit wird jede der 12 Ecken zu einem regelmäßigen Fünfeck, und jede der 20 Dreiecksflächen zu einem Sechseck.
Fertig.
Das ist zwar konstruktiv, aber der Beweis der Eindeutigkeit fehlt hier.

Körper, deren Begrenzungsflächen identische regelmäßige n-Ecke sind, heißen „Platonische Körper“, die bei denen verschiedene Sorten regelmäßiger n-Ecke erlaubt sind, „Archimedische Körper“.
Letztere erhält man aus ersteren durch Abschneiden der Ecken oder Kanten.
Einer der bürgerlichen Namen des untersuchten Objekts ist übrigens „abgestumpftes Ikosaeder“.

#10

naja, es sind komischerweise so viele 5- und 6ecke, dass die autogramme eines durchschnittlichen spielerkaders drauf platz haben :wink:

#11

Was ich schon immer wissen wollte…

Die Außenhülle eines „klassischen“ Fußballs besteht aus
gleichseitigen Fünf- und Sechsecken.

Wer hat diesen „klassischen“ Fußball eigentlich erfunden? Die „antiken“ Fußbälle bestanden ja nicht aus Fünf- und Sechsecken sondern aus Streifen. Ich tippe mal ganz spontan auf den Architekten Buckminster Fuller (der hatte eine Schwäche für Fünf- und Sechsecke) aber genau weiß ich es nicht.

#12

MOOMENT

Mich interessiert
vielmehr auch die Frage, warum es gerade soviele sind.
Brauche ich die gleiche Anzahl, wenn ich nur einen kleinen
Fußball benötige (z.B. einen Handball)?

Seit wann ist ein Handball ein kleiner Fussball??? :wink:

#13

Naja, der alte Fußball hatte das gleiche Schnittmuster, wie die Handbälle, oder?
Aber im Ernst…
Der Handball wird doch aus Lederstreifen genäht, oder?
wieviele Gruppen werden da benötigt?

Gruß

Winni

[Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]

#14

Hallo Barbara,

meine Idee war: ich verbinde die Mittelpunkte benachbarter Sechsecke miteinander (benachbart sind solche, die eine Kante gemeinsam haben). Da jedes Fünfeck von fünf Sechsecken umgeben ist, entsteht zu jedem Fünfeck ein inneniegendes, größeres Fünfeck. Jedes Sechseck ist abwechselnd von Fünf- und Sechsecken umgeben, also ist der Mittelpunkt jedes Sechsecks gleichzeitig Eckpunkt dreier Fünfecke. Dem Fußball einbeschrieben ist damit also ein regelmäßiger Polyeder, das aus gleichen Fünfecken besteht. Also ein Dodekaeder. Jeder Fläche des Dodekaeders (12) läßt sich eineindeutig ein Fünfeck des Fußballs zuordnen, jeder Ecke (20) eineindeutig ein Sechseck.

Gruß, Ralf

2 Like
#15

Wow. Bin begeistert.
So einfache Erklärungen mag ich.

-)))

#16

hi winni

seit den neuen bestimmungen des IHBC von 1972 werden handbälle nicht mehr aus streifen gemacht: du meinst wohl einen volley-ball?

cu

laurent

#17

DIE ANTWORT sphärische geometrie!
hallo,

ich will ja keinem der vorangegangenem einen strick drehen, doch:
keiner hat etwas von sphärischer geometrie gesagt und
drumm nicht auf die lösung gekommen.

die geometrie auf einer kugen (wie also eigentlich auf der erde
auch) hört auf andere gesetze als die euklidsche!

eine gerade z.B. ist da ein „grosskreis“, d.h. ein schnitt durch
die kugel durch den mittelpunkt uva. der inhalt eines n-eckes ist
dann auch anders definiert.

ebenfalls sind die sinus- und cosinussätze anders!!
sin(a)/sin(alpha)=sin(b)/sin(betha)=sin©/sin(gamma) wobei a die
gegenüberliegende seite des winkels alpha ist usw, und die seiten
grosskreis-abschnitte sind…

aus all dem und viel mehr lässt sich berechnen, dass die einzige
abdeckung einer kugel aus sphärischen 5- und 6-ecken der fussball
ist.

links (ich hab nicht weit gesucht):
http://home.eduhi.at/user/hamoser/mam/3hak/sph.htm

http://www.didaktik.mathematik.uni-wuerzburg.de/math…

#18

DIE ANTWORT?

ich will ja keinem der vorangegangenem einen strick drehen,

Haste auch keine Chance. :wink:

keiner hat etwas von sphärischer geometrie gesagt

Nein, die Argumentationen von Ralf und mir waren nicht geometrisch sondern graphentheoretisch.

Für den Kantengraphen und damit die Zahl der Fünf- und Sechsecke ist es doch völlig egal, ob ich ein Polyeder betrachte, oder ob ich es zur Kugel aufblase.

Warum also sphärische Trigonometrie bemühen, wenn ich mit den vier Grundrechenarten auskomme.
Die Betrachtung von Ralf braucht noch nichteinmal alle vier davon und ist in Sachen Kürze und Prägnanz unschlagbar.

Jetzt bin ich irre neugierig auf einen Beweis mittels Kugelgeometrie.
Hast Du einen? (Bei Deinen Links hab ich nichts gefunden)
Das würde die Sammlung in diesem Thread vervollständigen.
Voller Erwartung
Barbara

#19

keiner hat etwas von sphärischer geometrie gesagt

Nein, die Argumentationen von Ralf und mir waren nicht
geometrisch sondern graphentheoretisch.

die frage war ja wohl sehr geometrisch gemeint (meiner meinung
nach). graphentheorie ist mir sehr vertraut, doch ich weiss nicht
ob sie für die lösung von geometrischen problemen sinnvoll ist,
da eine kante „nur“ eine verbindung zwischen zwei knoten ist und
somit nichts zu tun haben muss mit geraden oder linien, vor allem
aber nicht mit verbindungen im „echten“ leben.

Für den Kantengraphen und damit die Zahl der Fünf- und
Sechsecke ist es doch völlig egal, ob ich ein Polyeder
betrachte, oder ob ich es zur Kugel aufblase.

das sehe ich nicht so, denn für kantengraphen kann ich beliebige
n-ecke nebeneinander legen ohne mich zu fragen ob dies in einem
x-dimensionalen raum möglich wäre. es war aber die frage warum in
einem dreidimensionalen raum, auf einer kugel eine bestimmte
anzahl von n- und m-ecken sich zu einer bedeckenden hülle ergänzen.

wenn kantengraphen im eukligschen sinn, auf einer ebene gemeint
waren, so können sie das geschilderte problem nicht erfassen
(oder nicht in einfachen formeln). um geometrische figuren auf
kugenloberflächen in einem euklidschen (nicht sphärischen) system
zu beschreiben sind die berechnungen sehr komplex. desshalb gibte
es die sphärische geometrie, welche die gegebenheiten auf einer
kugel beschreiben.

Warum also sphärische Trigonometrie bemühen, wenn ich mit den
vier Grundrechenarten auskomme.
Die Betrachtung von Ralf braucht noch nichteinmal alle vier
davon und ist in Sachen Kürze und Prägnanz unschlagbar.

wie aus den obigen ausführungen klar werden sollte, meine ich,
dass geometrie auf der kugel eben nicht dasselbe ist wie
euklidsche geometrie in der ‚flachen‘ ebene.

Jetzt bin ich irre neugierig auf einen Beweis mittels
Kugelgeometrie.

das ist leider schon über 10 jahre her als ich den beweis für die
einzige möglichkeit um eine kugel mit 5- und 6-ecken abzudecken
machte (im sphärischen sinn, denn die 5- und 6- ecke eines
fussballs haben keine gerade kanten, wenn man sie auf einer ebene
ausbreitet!). ich habe die unterlagen leider nicht mehr und habe
mich in der letzten zeit zuweinig damit auseinandergesetzt um
diesen beweis aus dem bauch heraus zu reproduzieren.

ICH FINDE DAS SCHADE, DOCH ICH HABE EIGENTLICH KEINE ZEIT FUER
SOLCHE SCHOENEN SPIELEREIEN).

Hast Du einen? (Bei Deinen Links hab ich nichts gefunden)

ich werde mich bemühen, doch ich kann nichts garantieren. die
links waren übrigens nicht wirklich „meine“, ich habe nur kurz
sphärische geometrie in google eingetippt.

Das würde die Sammlung in diesem Thread vervollständigen.
Voller Erwartung

leider ohne erfüllung deiner erwartung
bernhard

Barbara