Hallo Mathematik-Experten. Was versteht man in der Mathematik allgemein unter einer Mannigfaltigkeit?
Ich finde in meinem Nachschlagewerk nur etwas über invariante, stabile, instabile Mannigfaltigkeiten, kann mir aber unter dem Begriff selbst nichts vorstellen.
Danke für eure Mühe,
mr.elan
Hallo!
Ich kenne den Begriff nur in der Topologie. Da ist eine n-Mannigfaltigkeit ganz allgemein eine Menge mit Metrik, die sich überall lokal bijektiv und stetig auf eine offene und beschränkte Teilmenge des R^n abbilden lässt. Die exakte Definition ist etwas komplizierter, aber für eine erste Vorstellung sollte das reichen.
Eine bijektive und stetige Abbildung ist ein Homöomorphismus. Homöomorphie (topologische Gleichheit) ist eine Äquivalenzrelation.
Anschaulich: Mannigfaltigkeiten sind Linien, Flächen, Räume, Hyperräume, … verschiedenster Gestalt. Sie müssen bloß überall in einem hinreichend kleinen Bereich wie Geraden, Ebenen usw. (also R^n) aussehen.
Noch anschaulicher: Ein Torus und die Oberfläche einer Kaffeetasse sind homöomorphe 2-Mannigfaltigkeiten, ebenso eine Kugeloberfläche und eine Kartoffeloberfläche. Zwei Salzstreueroberflächen sind dann homöomorph, wenn sie die gleiche Anzahl an Löchern haben. Eine geschlossene Kreislinie ist eine 1-Mannigfaltigkeit (abgesehen von einer Gerade die einzige). Es gibt natürlich auch Mannigfaltigkeiten höherer Dimension. Einen 2-Torus kann man sich auch vorstellen wie die Oberfläche eines altmodischen Computerspiels: Der rechte Rand ist mit dem linken verbunden, der obere mit dem unteren. Das lässt sich mit einem rechteckigen Stück Papier nachvollziehen. Analog geht es mit einem 3-Torus und einem Würfel. Das Universum zum Beispiel könnte ein 3-Torus sein, aber soweit ich weiß, weiß man das noch nicht.
Gruß,
Hendrik
Mannigfaltigkeit = Fläche
Hallo,
Mannigfaltigkeiten sind im Prinip nichts anderes als die Verallgemeinerung der Fläche.
Mathematisch gesprochen ist eine Mannigfaltigkeit eine Funktion von einer k-dim. Menge auf eine n-dim. Menge, wobei 1 3-dim. Raum
f(x,y)=(x,y,Wurzel(1-(x²+y²)))
ist einfach eine Halbkugel. In diesem Fall ist k=2 und n=3, f ist also sogar eine Hyperfläche.
Desweiteren stellt man noch 3 Forderungen an die Mannigfaltigkeit (Fläche):
-
die Fläche darf sich nicht selbst durchdringen
(mathematisch gesprochen: „f ist injektiv“) -
die Fläche verjüngt sich nirgendwo zu einer Linie oder einem Punkt
(mathematisch gesprochen: „rg J(f(x)) = k, für alle x“, J:Jakobimatrix) -
die Fläche hat keine Spitzen oder Kanten
(mathematisch gesprochen: „f^(-1) ist stetig“)
Mit diesen Forderungen stellt man sicher, dass die Mannigfaltigkeit „gute“ Eigenschaften hat und sich mit ihnen leicht rechnen lässt.
Du siehst also, Mannigfaltigkeiten sind nichts wildes, nur die mathematische Erfassung des Flächenbegriffs.
Gruß
Oliver
Hi Henrik
lieg ich da richtig, daß eine berandete Hyperfläche im Rn (z.B. Kreisfläche und homöomorphes im 3-Raum) keine Mannigfaltigkeit ist? Bzw. nur die Fläche one ihren Rand?
Gruß
Metapher
Entschuldigung, diese Definition ist meines Erachtens nicht richtig - oder das sind verschiedene Mannigfaltigkeitsbegriffe innerhalb der Mathematik, was ich bei der doch vorhandenen Ähnlichkeit bezweifeln möchte.
Also: Eine Halbkugel ist keine Mannigfaltigkeit, denn am Rand ist sie nicht lokal homöomorph zu einem Elementarflächenstück. Eine Kugeloberfläche ist eine Mannigfaltigkeit. Nach Deiner Definition müsste es eine bijektive* Funktion f von einer Teilmenge des R^2 in die Kugeloberfläche geben, deren Umkehrfunktion stetig ist. Die gibt es aber nicht. Überhaupt würde mich mal interessieren, wo die Definition der Mannigfaltigkeit als Funktion herkommt. Ich mag mich irren, aber ich fürchte, Du hast sie falsch verstanden.
(* auch surjektiv, weil das Bild der Funktion die Kugeloberfläche ist)
Hi; ganz recht, so ist es
Hallo
Also: Eine Halbkugel ist keine Mannigfaltigkeit, denn am Rand
ist sie nicht lokal homöomorph zu einem Elementarflächenstück.
Ich meinte auch eine Halbkugel ohne Rand, denn die Urbildmenge der Funktion muss offen sein.
Eine Kugeloberfläche ist eine Mannigfaltigkeit. Nach Deiner
Definition müsste es eine bijektive* Funktion f von einer
Teilmenge des R^2 in die Kugeloberfläche geben, deren
Umkehrfunktion stetig ist. Die gibt es aber nicht.
Erwischt. Meine Definition war nämlich nur ein Spezialfall einer Mannigfaltigkeit und heißt „parametrisierte k-Fläche“ oder „Elementarflächenstück“. Die allgemeine Mannigfaltigkeit ist dann die Überlappung von verschiedenen k-Flächen. Damit ist dann auch eine Kugel eine Mannigfaltigkeit.
Einverstanden?
Ich wollte auf diese Feinheiten nicht eingehen, sonst hätte ich gleich einen Link zu einem entsprechenden 30 Seiten Mathe-Skript eingeben können.
Es ist wiedermal das alte Dilemma: Ein Laie (?) fragt nach einem mathematischen Begriff. Antwortet man mathematisch exakt, verstehen das in der Regel nur Leute, die es schon vorher verstanden haben und der Fragesteller selbst, klickt den Artikel nach dem ersten Absatz weg. Antwortet man zu umgangssprachlich und ungenau, ruft das Mathematiker auf den Plan.
Ich bitte um entschuldigung, ich treffe nicht immer die richtige Mischung.
Gruß
Oliver
Vielen Dank an Oliver und Hendrik.
Eure Erklärungen haben mir weitergeholfen.
Als „Laie“ in der Mathematik kann man mich wohl bezeichnen, bin zwar Physikstudent im 2.Semester, habe aber noch keine Mathe-Vorlesungen gehört, weil Sommereinsteiger…
mr.elan