Hallo EthanHunt,
zunächst mal ein allgemeiner Tipp. Mach immer eine sogenannte Dimensionsanalyse, dann merkst Du sofort, ob Deine Rechnung überhaupt stimmen kann. Das heißt die Einheiten müssen zusammenpassen.
In Deinem Ansatz für a) subtrahierst Du beispielsweise eine Zeit von einer Masse. Das macht natürlich keinen Sinn.
Formuliere die Berechnung der gesuchten Größe erst einmal so einfach wie möglich, auch wenn dabei nicht alles bekannt ist:
Masse der Rakete = Startmasse - Masseverlust
Den Masseverlust kennen wir zwar nicht direkt, er ist aber die Geschwindigkeit mit der sich die Masse ändert (dm/dt) multipliziert mit der vergangenen Zeit, also:
Masse der Rakete = Startmasse - dm/dt * t
Der Sprit ist alle, wenn die Masse der Rakete gleich der Leermasse ist und das heißt:
Masse der Rakete = Leermasse = Startmasse - dm/dt * t
So, jetzt ist nur noch die Zeit t unbekannt. Nach t auflösen:
t = (Startmasse - Leermasse) / (dm/dt)
oder etwas plakativer ausgedrückt:
Brenndauer = Spritmenge / Verbrauchsgeschwindigkeit
Nun zu b)
Wieder eine möglichst einfache Formulierung finden. Wie in der Angabe angedeutet, soll man den Impulserhaltungssatz verwenden:
Impulsänderung der Rakete = Impulsänderung der ausgestoßenen Abgases (oder was auch immer ausgestoßen wird)
Eine Impulsänderung kann man ausdrücken durch eine Krafteinwirkung über eine Zeitdauer oder eine Geschwindigkeitsänderung einer Masse, also:
Impulsänderung = F * dt oder Impulsänderung = m * dv
Das d bei dv kannst Du hier einfach dazuschreiben, weil Du ja nur die Geschwindigkeitsänderung meinst.
Für die Rakete bietet sich für die Impulsänderung der Ausdruck F * dt an, weil F wollen wir ja ausrechnen. dt kennen wir zwar nicht, macht aber nichts. Es soll einfach nur eine „kleine“ Zeitspanne bedeuten.
Die Impulsänderung des Abgases (jedenfalls des Teils, der während dt ausgestoßen wird) drücken wir besser mit m * dv aus, weil wir das in gewisser Weise mit dm/dt und vT gegeben bekommen haben.
Impulsänderung der Rakete = Impulsänderung der ausgestoßenen Abgases
heißt also
F * dt = m * dv
Mit m meinen wir hier natürlich nur die Abgasmasse, die während dt ausgestoßen wird, darum schreiben wir jetzt auch einfach dm (quasi „delta m“ während dt bzw. „delta t“). Das ist eigentlich der ganze Clou mit dieser Infinitesimalrechnung, man rechnet mit gedachten kleinen Deltas, aus denen man dann die Differenziale oder Integrale bilden kann.
Die Geschwindigkeitsänderung dv des Abgases ist als „Ausströmgeschwindigkeit“ vT gegeben. Also vT und obiges dm eingesetzt:
F * dt = dm * vT
dm/dt ist gegeben, darum bringen wir mal das dt auf die rechte Seite:
F = dm/dt * vT
So, nun ist F mit bekannten Größen ausgedrückt.
c)
Beschleunigung kann man auch unterschiedlich ausdrücken, als Geschwindigkeitsänderung in einer „kleinen“ Zeitspanne, also dv/dt oder über die beschleunigende Kraft und die zu beschleunigende Masse. Wir nehmen letzteres, da haben wir mehr Bekannte.
F = m * a ist ja sicher bekannt, muss nur umgestellt werden:
a = F / m
Die beschleunigende Kraft F und die zeitabhängige Masse m der Rakete haben wir aber in b) bzw. a) schon ausgerechnet:
F = dm/dt * vT
und
m = ms - dm/dt * t
Eingesetzt bekommt man dann:
a = dm/dt * vT / (ms - dm/dt * t)
Ich hoffe, ich konnte Dir nicht nur bei dieser Aufgabe helfen, sondern Dich allgemein weiterbringen.
Gruß,
J.Lo
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