MAthe

Wissenschaft Mathematik
#1

Liebe/-r Experte/-in,
hallo experte/in

ich schreibe montag meine mathe klausur und mache dazu ein paar aufgaben aus dem buch. wir haben zur zeit das thema mit den abletungsregeln und dazu berechenbaren probleme gemacht. diese aufgabe sollte auch damit gelöst werden.(steigungsproblem,tangentenproblem,Extremalproblem usw.)
ich weiß leider nicht wie ich voran gehn soll.
könnte sie mir bitte helfen und zu min. sagen konnen um was fur ein problem es sich handelt?

die aufgabe lautet:

Die nördliche Umgehungsstraße einer Kleinstadt verläuft in der Modellierung längs des Graphen der quadratische Funktion f mit f(X )=x²-2x+2. Eine von süden kommende straße soll längs des graphen einer funktion g(x)=a(x-4)²+b so verlaufen,dass beide Straßen im Punkt P(2/2)ohne Knick verlaufen.

a)wie müssen die parameter a und b gewählt werden ? b)wie lautet die Gleichung der gemeinsamen Tangente an die Graphen von f und g im Punkt P?

danke

#2

Hallo, das ist ganz einfach. Beide Straßen sollen ohne Knick verlaufen. Bei der nördlichen Straße ist das ja offenbar schon erfüllt: http://fooplot.com/x^2-2x+2

Bei der anderen Funktion müssen wir noch die Parameter a und b bestimmen. Für 2 unbekannte Parameter brauchen wir 2 Gleichungen, um sie rauszufinden.

Erste Gleichung folgt aus der Tatsache, dass g durch (2/2) gehen muss:

2 = a(2-4)^2 + b
2 = 4a + b
2 - 4a = b.

Zweite Gleichung folgt aus der Tatsache, dass beide Funktionen in (2/2) ohne Knick verlaufen sollen. Das bedeutet, f und g müssen in (2/2) die Gleiche Ableitung haben. Die Ableitung von f ist allgemein f’(x) = 2x - 2 und daher f’(2) = 2. Wir wissen nun, dass auch die Ableitung von g an der Stelle 2 den Wert 2 haben soll: g’(2) = 2.

g(x) = a(x-4)^2 + b
g(x) = a(x^2 - 8x + 4) + b
g(x) = ax^2 - 8ax + 4a + b

=> g’(x) = 2ax - 8a

Mit unserer zweiten Gleichung g’(2) = 2 folgt nun

2 = 4a - 8a
2 = -4a
-0.5 = a

Toll, wir wissen jetzt was a ist: -0.5. Dieses Zwischenergebnis setzen wir nun in die erste Gleichung ein, die wir uns weiter oben schon überlegt hatten: 2 - 4a = b.

2 - 4a = b
2 + 2 = b
4 = b

Yeah, jetzt wissen wir auch was b ist: 4. Mit a und b können wir jetzt g auf schreiben: g(x) = -0.5(x-4)^2 + 4. Das sieht so aus: http://fooplot.com/-0.5%28x-4%29^2+4

Das war a), jetzt kommt noch b), die Tangente in (2/2). Die Tangente hat die Gleichung t(x) = mx + c. Steigung der Tangente (also m) wissen wir bereits, das ist die Baleitung von f und g an der Stelle 2, f’(2) = g’(2) = 2. Also m = 2. Außderdem muss die Tangente durch (2/2) gehen: t(2) = 2. Schnell einsetzen ergibt c = -2. Also ist diese Tangente t(x) = 2x -2.

Alles klar?

#3

Hallo Beyza!

Die Aufgabe fordert, dass beide Straßen im Punkt P die selbe Steigung besitzten, der Wert der ersten Ableitung beider Funktionen muss also an der Stelle x=2 identisch sein. Also erstmal f’(x) bilden, x=2 einsetzen und das Ergebnis für g’(x) einsetzen wenn x=2. Dann entsteht eine Gleichung mit den Unbekannten a und b. Eine zweite Gleichung mit denselben Unbekannten entsteht, wenn man in g(x) den Punkt P einsetzt. Dann hat man zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten und kann a und b bestimmen.

Ich hoffe das hat dir geholfen, wenn nicht meld dich einfach nochmal,

Liebe Grüße,
Dennis