Hallo,
ich habe ein Problem bei der Lösung einer Extremwertaufgabe aus dem Mathe Abi 1990 und finde absolut keine Lösungsvorlagen, daher wäre es toll wenn mir jemand helfen würde :
aufgabe 3:
Gegeben ist der Punkt P(3/2). Durch P soll eine Gerade so gezeichnet werden, dass die von ihr sowie den Koordinatenachsen begrenzte Dreiecksfläche im ersten Quadranten des Koordinatensystems minimal wird. Bestimmen Sie die Gleichung dieser Geraden und den Inhalt des Dreiecks.
Die Skizze ist kein Problem und einen Ansatz habe ich auch schon, mir fehlt lediglich die Zusatzbedingung.
Die Fläche ist die x-Koordinate der Geraden mal die y-Koordinate der Geraden und das geteilt durch 2.
Ihr braucht auch nicht alles durchzurechnen, das ist kein Problem, brauche lediglich die Gleichung …
Hallo Martin,
vielen Dank, war eigentlich nicht so schwer, muss halt nur auf den Ansatz kommen … eine Frage habe ich allerdings noch beim Durchrechnen, denn wenn ich f(0) und x0 in A = 1/2 f(0) x0 einsetze kommt bei mir A= 6 -9/2 a - 2/a raus ??
Ok, die 6 ist eigentlich auch egal, da es ja erstmal eh nur um die Ableitung geht, bei der bei mir A’(a) = -9/2 + 2/a^2 raus kommt und folglich für a=2/3 …statt a=-2/3 …
irgentwie der „Vorzeichenwurm“ drin, oder??
Gruß, Lara
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da es ja erstmal eh nur um die Ableitung geht, bei der bei mir
A’(a) = -9/2 + 2/a^2 raus kommt
korrekt.
Die Extremalbedingung A’(a) = 0 lautet damit für Dein Problem
-9/2 + 2/a² = 0
==> 2/a² = 9/2
==> a² = 4/9
==> a1 = 2/3, a2 = –2/3
Einverstanden?
Da man weiß, dass die Gerade eine negative Steigung haben muss, weil sie sonst mit den Koordinatenachsen im ersten Quadranten kein „anständiges“ Dreieck bildet, ist die positive Lösung a1 = 2/3 zu verwerfen.
Allerdings: Irgendeine Bedeutung muss die positive Lösung 2/3 auch haben, denn schließlich kommt sie ja bei der Rechnung raus. Setzt Du in die Funktionsgleichung f(x) = a x + 2 – 3 a für a das „seltsame“ 2/3 ein, erhälst Du f(x) = 2/3 x. Hoppla, diese Gerade verläuft durch den Ursprung! Damit fallen alle drei Dreiecks-Eckpunkt zusammen – das zugehörige Dreieck ist ein Punkt! Sein Flächeninhalt ist Null und damit in der Tat auch „extremal“. So betrachtet gibt also auch die positive Lösung Sinn.
irgentwie der „Vorzeichenwurm“ drin, oder??
Tip: Wann immer Du auf einer Seite einer Gleichung einen quadrierten Term erblickst, also irgendwas in der Form (…)² = … wie etwa das obige „a² = 4/9“, dann sag zu Dir selbst (in Gedanken oder auch laut): „Quadratische Gleichung! – aufpassen! – zwei Lösungen!“ Es lohnt sich wirklich, das richtig zu verinnerlichen. Denn dann hat der Vorzeichenwurm keine Chance mehr
