Ein Rechteck soll den Flächeninhalt f=18qcm haben. Bei welchen Maßen (l,b) hat es den kleinsten Umfang!
wie geht das nochmal ???
bis zur Formel u=2(l+18/l) bin ich ja noch gekommen. Jetzt was mit Ableitung ???
hilfe.
gruss!
Ein Rechteck mit den Seitenlängen a und b hat bei gegebenem Flächeninhalt A seinen kleinsten Umfang u = 2 (a+b) immer wenn a=b ist, d. h. wenn das Rechteck ein Quadrat ist.
Auf den konkreten Flächeninhalt A kommt es dabei gar nicht an. Allerdings setzen wir einmal A>0 voraus, sonst führt es zu weit.
Wir bilden nun die Verhältniszahl aus Umfang und Flächeninhalt des Quadrates mit dem gegebenen Flächeninhalt A.
Das Quadrat hat die Seitenlänge a=Quadratwurzel von A.
Die alte Verhältniszahl u/A = 4a/a*a = 4/a
Nun bemühen wir die sogenannte EPSILONtik und machen folgende Operation:
Wir verlängern eine Seite a des Quadrates um eine winzige, unendlich kleine Längeneinheit e (= EPSILON), die aber grösser als 0 ist, und nehmen gleichzeitig an, dass der gegebene Flächeninhalt A = a * a dabei gleichbeleiben soll. Die zweite Seitenlänge des Quadrates verändert sich dabei deshalb auf A/(a+e).
Nun berechnen wir die neue Verhältniszahl u(neu)/A des entstandenen Rechteckes und beweisen, dass diese für jedes noch so kleine e > 0 grösser ist als die alte Verhältniszahl 4/a. Wenn dies gelingt, ist unsere Annahme richtig, dass das Quadrat bei gegebenem Flächeninhalt den kleinsten Umfang hat.
u(neu)= 2 * ( (a+e) + A/(a+e) )
Neue Verhältniszahl Umfang/Flächeninhalt:
u(neu)/A = (2 * ( (a+e) + A/(a+e) ) ) / a * a
= (2 * ( (a+e) + a*a/(a+e) ) ) / a * a
Wir beweisen nun, dass die alte Verhältniszahl immer kleiner ist als die neue Verhältniszahl, d. h. dass die folgende Ungleichung
4/a 0 gilt.
Diesen Beweis führt man durch äquivalente Umformungen der Ungleichung:
Zunächst Multiplikation beider Seiten mit a * a. Dies ergibt
4 * a a + a a a a * (a+e) a*a + a*e 0 0 [Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]
in etwa so
Hallo Jens.
Ein Rechteck soll den Flächeninhalt f=18qcm haben. Bei welchen
Maßen (l,b) hat es den kleinsten Umfang!
Direkte Lösung: von allen Rechtecken hat das Quadrat das größte Verhältnis von Fläche zu Umfang.
wie geht das nochmal ???
bis zur Formel u=2(l+18/l) bin ich ja noch gekommen. Jetzt was
mit Ableitung ???
Zum Beispiel.
U(L) = 2L + 36/L
f(x) = ax => f’(x) = a
f(x) = n/x => f’(x) = -n/x2
f(x) = g(x) + h(x) => f’(x) = g’(x) + h’(x)
U’(L) = 2 - 36/L2
Suche nach l mit U’(l) = 0 liefert l=Wurzel(18). Test mit zweiter Ableitung bestätigt, es handelt sich um ein Minimum von U(L).
Der Umfang ist also am geringsten bei l=b=Wurzel(18).
hilfe.
geholfen?
gruss!
Gruss, Ralf
moin
diese methode erscheint mir, wie differenzieren mit der Brechstange…, die lösung weiter oben mit den Ableitungsformeln ist für mich leichter verständlich, aber ich weiß nicht ob der Initiator des thread differenzieren kann…
ciao norbert
Die ganze Differentiation und daraus abgeleitet die Extremwertberechnung berüht ja auf der schönen und eigentlich ganz simplen Annäherung an etwas eigentlich nicht Greifbares mit der Methode epsilon > 0.
Wer diese Grundlage begriffen hat, für den ist die ganze Differentialrechnung auch viel einfacher.
Das Studium der Grundlagen lohnt sich deshalb immer wieder.
Was nützt es denn, sich Aufgaben vorrechnen zu lassen, ohne den davorliegenden Schritt verstanden zu haben?
So wurde zwar keine Differentialrechnung verwendet, aber die Aufgabe wurde sogar ganz allgemeingültig gelöst.
Das Einpauken von Regeln ist keine Wissenschaft, sondern ihren Zusammenhang zu verstehen, den Weg zum Verständnis zu ebnen und weiter darauf aufzubauen.
Torsten
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