Mathe beweise über reelle zahlen

Wissenschaft Mathematik
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hi
ich möchte wissen ob was ich gemacht habe stimmt
Die Aufgabe lautet

Zeigen Sie, dass die Gleichung a + x = b f¨ur alle a, b element R genau eine L¨osung hat.

Beweis:
wir nehmen an a + x = b mehr als eine lösung hat
dann gilt
a + x = b
x = b-a

seien x1,x2, … die #denen lösungen dann gilt
x1 = b-a = x2 = x3 = …= xn
und das ist ein wiederspruch weil die lösungen verschieden sind
stimmt alles ??
Danke

2

Hallo,

Zeigen Sie, dass die Gleichung a + x = b f¨ur alle a, b
element R genau eine L¨osung hat.

Dann musst du nicht nur zeigen, dass es keine zwei Loesungen gibt, sondern dass es ueberhaupt eine Loesung gibt.

Gruesse,
Moritz

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Hallo Serene!

stimmt alles ??

Das hängt davon ab, was Du verwenden darfst.
Wenn Du schon weißt, dass Du in den reellen Zahlen einfach subtrahieren und Summanden vertauschen darfst (weil Du z.B. bewiesen hast, dass sie einen Körper bilden), dann funktioniert dieser Schritt:

a + x = b
x = b-a

(Zwischenschritte: x+a=b x+a-a=b-a )

Damit ist dann auch nicht mehr zu beweisen, denn Du hast erstens gezeigt, dass Du so ein x finden kannst (dass also eines existiert), und zweitens (weil Du nur äquivalent umgeformt hast), dass die Lösung so aussehen müssen (und b-a ist nun mal nur eine Zahl, also ist x eindeutig).

Allerdings nehme ich an, dass Du all dies nicht weißt, wenn Du so eine Aufgabe lösen musst. Du weißt wahrscheinlich nicht, dass Du einfach Summanden vertauschen kannst, und Du weißt wahrscheinlich auch nicht, dass Du subtrahieren kannst.
In diesem Fall solltest Du aber für rationale Zahlen wissen, dass Du subtrahieren und kommutieren kannst, und dann musst Du Dir mal anschauen, wie reelle Zahlen definiert sind (dazu benötigt man rationale Zahlen).
Dabei wirst Du feststellen, dass Du anhand der Definition ganz leicht eine reelle Zahl x angeben kannst, die a+x=b erfüllt; allerdings macht die Eindeutigkeit Probleme, weil eine reelle Zahl als Äquivalenzklasse rationaler Folgen definiert wurde. Du musst also zeigen:
Wenn Du zu einer beliebigen Folge (ai), die a repräsentiert, irgendeine Folge (yi) addierst, dannn kann die Folge (ai+yi) nur dann die Zahl b repräsentieren, wenn (yi) die Zahl x repräsentiert.

Viel Erfolg!

Immo