Mathe Extremstellen

Wissenschaft Mathematik
#1

Hallo erstmal,
ich habe ein problem bei der mathehausaufgabe.
es geht hier um die Extremstellen.
die erste aufgabe lautet :
Eine ganzreational Funktion hat ganau die PUnkte P(-1/4),Q(1/-1),R(3/2) als Extrmpunkte. Gib an ob es sich jeweils um einen Hochpunkt (HP) oder einen Tiefpunkt (TP) handelt.Leite außerdem Aussagen über das Globalverhalten und über die nullstellen von f her.

ich habe die alles davon gemacht auser die nullstellen.
P und R sind Hochpunkte und Q ist ein tiefpunkt.Beim Globalverhalten ist f(x)= - unendlich (von beiden richtungen aus).Aber ich wusste nicht was ich machen muss um die NUllstellen herauszufinden …
Brauche hilfe…

und die zweite aufgabe lautet:
Eine ganzrational Funktion hat genau in den Punkten P(2/1) und Q(3/4) eine waagerechte Tangente. Ausserdem gilt f(x)-> - unendlich für x-> - unendlich.
Gib an, um was für Punkte es sich handeln könnte.

Aus irgenteinem weiss ich nicht wie ich das herausfinden. Ihr müsst keine lösungen angeben aber ich will verstehen wie ich das berechnen soll.Ich wäre sehr dankbar falls ihr mir helfen könnt.Zu information ich bin in der 11 …

Gruß
Ramazan

#2

Hallo Ramazan,

bei diesen 2 Aufgaben sehe ich ersmal gar keine Notwendigkeit etwas zu rechnen! Du hast soweit erstmal alles richtig gemacht.

Bei dieser Art von Aufgaben zeichne dir ersmal die vorgegebenen Punkta in ein Koordinatensystem. Versuche sie zu verbinden /linear, quadratisch, kubisch…). Anhand des Kurvenverlaufes kannst Du dann abschätzen, welcher Art de Funktion ist, wo ungefähr Nullstellen liegen usw. Bei Aufgabe 2 sollte die Kurve an den vorgegebenen Punkten genau einen Hoch- oder Tiefpunkt haben, damit die daranliegenden Tangenten auch wirklich waagerecht anliegen! Denk mal drüber nach, ob die Funktion einen weiteren Extrempunkt haben kann! Hier hilft nur aufzeichnen und nachdenken. Und wie du selbst sagt: Ihr müsst keine Lösungen angeben…". Macht auch wenig Sinn, da jede Aufgabe dich anders zum Nachdenken anregen soll!

Weitere Fragen an [email protected]

Gruß Bernd

#3

Hallo erstmal,
ich habe ein problem bei der mathehausaufgabe.
es geht hier um die Extremstellen.
die erste aufgabe lautet :
Eine ganzreational Funktion hat ganau die PUnkte
P(-1/4),Q(1/-1),R(3/2) als Extrmpunkte. Gib an ob es sich
jeweils um einen Hochpunkt (HP) oder einen Tiefpunkt (TP)
handelt.Leite außerdem Aussagen über das Globalverhalten und
über die nullstellen von f her.

ich habe die alles davon gemacht auser die nullstellen.
P und R sind Hochpunkte und Q ist ein tiefpunkt.Beim
Globalverhalten ist f(x)= - unendlich (von beiden richtungen
aus).Aber ich wusste nicht was ich machen muss um die
NUllstellen herauszufinden …

Ganzrationale Funktionen (GRF) sind stetig. Da f(-1) positiv und f(1) negativ ist, muss dazwischen (mindestens) eine Nullstelle liegen. Entsprechend zischen 1 und 3

Falls die Funktion keine Sattelpunkte hat, muss sei vierten Grades sein und vier Nullstellen haben. Deine richtigen Überlegungen über das Verhalten im Unendlichen führen dazu, dass eine links von -1 und e ine rechts von 3 sein muss.

Tipp: Zeichnung mit den gegebenen Punkten und dann ganz grob skizzieren, wie die Funktion aussehen könnte.

und die zweite aufgabe lautet:
Eine ganzrational Funktion hat genau in den Punkten P(2/1) und
Q(3/4) eine waagerechte Tangente. Ausserdem gilt f(x)-> -
unendlich für x-> - unendlich.
Gib an, um was für Punkte es sich handeln könnte.

„genau“ bedeutet hier zwei, aber auch keine weiteren

Also genau zwei Extemstellen

auch hier : Skizze

Aus irgenteinem weiss ich nicht wie ich das herausfinden. Ihr
müsst keine lösungen angeben aber ich will verstehen wie ich
das berechnen soll.Ich wäre sehr dankbar falls ihr mir helfen
könnt.Zu information ich bin in der 11 …

Gruß
Ramazan

#4

Hallo erst einmal,

zu 1) Da es sich um drei Extremstellen handelt, ist die erst Ableitung der Funktion f(x) an den benannten X-Koordinaten = 0… Darauf kann man dann die erste Ableitung nach dem Prinzip f’(x) = (x-x1) * (x-x2) * (x-x3) berechnen :wink: Mit dem Integral von f’ erhält man f :wink:

zu 2) gleiche Vorgehensweise wie bei 1, waagerecht Tangente bedeutet, dass f’ an dieser Stelle den Wert 0 einnimmt :wink:

#5

Wieso verstehe ich nichts … ? aso sie wissen nicht das wir das thema erst neu begonnen haben XDXDXD gibt es einfache erklärungen ?

#6

Hallo Ramazan.

Abgesehen davon, dass die Aufgabe nicht explizit sagt, dass du die Lage der Nullstellen bestimmen musst, erklär ich dir eine mögliche Vorgehensweise.
Es könnte auch ausreichend sein, wenn du einfach sagst, zwischen P und Q gibt es eine Nullstelle, etc…

Wenn du weißt, dass eine ganzrationale Funktion genau 3 Extrempunkte hat, weißt du, dass diese Funktion mindestens vierten Grades ist. (Also ax^4 + …) Wenn du außerdem weißt, dass die Fuunktion keine Terrassenpunkte besitzt, ist sie genau vierten Grades. (Das wäre eine Annahme, die du treffen könntest.) Du könntest jetzt eine allgemeine Funktion vierten Grades aufstellen:
f(x)= ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e
Diese allgemeine Funktion kannst du einmal abeiten (f’(x)= 4ax^3 + 3bx^2 + 2cx + d)
und für deine drei Punkte oben jeweils den x Wert einsetzen und die linke Seite der Gleichung auf 0 setzen (in jedem Extrempunkt ist die Tangente n den Graphen waagrecht, hat also die Steigung 0 --> erste Ableitung ist 0).
Beispielsweise für P(2/1) in die erste Ableitung:
0 = 32a + 12b + 4c.
Auf diese Art und Weise bekommst du drei Gleichungen.
In deiner allgemeinen Form für f(x), gibt es aber 5 Unbekannte: a, b, c, d und e; benötigst also 5 unterschiedliche Gleichungen, um sie zu bestimmen.
Du kannst aber durch Einsetzen der x und y-Koordianten der Punkte in die ursprünglische allgemeine Form noch weitere Gleichungen erhalten.
Beispielsweise P(2/1) in die ursprüngliche Funktion:
1 = 16a + 8b + 4c + 2d + e.
Damit erhälst du ein Gleichungssystem mit 5 Gleichungen (du könntest 6 Aufstellen, aber das ist nur verwirrend, 5 reichen.) und 5 Unbekannten, das du lösen kannst.

Nullstellen erhälst du dann durch das übliche Nullsetzen der ursprünglichen Funktion.

Zur zweiten Aufgabe:
Du kannst durch das Globalverhalten etwas auf die Art der Punkte schließen. Kleiner Tipp, es wird wohl nicht ein Hochpunkt und ein Tiefpunkt sein.
Wenn du den genauen Funktionsverlauf haben möchtest kannst du ein ähnliches Vorgehen wie oben anwenden, mit den jeweiligen Annahmen.

#7

Also zur ersten Aufgabe:

Du hast 3 Extremstellen und sollst „Aussagen“ (nicht zwingend wo die liegen) über die Nullstellen machen. Ok, du weißt, dass bei großen, bzw kleinen x f(x) negativ ist. Dein Tiefpunkt liegt unter der x-Achse, die Hochpunkte darüber. Daraus folgt, dass du vier Nullstellen hast, die neben den Extremstellen liegen müssen. Vier Nullstellen deuten auf eine Funktion vierten Grades. Also ax^4+bx^3+cx^2+dx+e = f(x). Da die Funktion bei plus und minus unendlich negativ ist, ist auch a negativ. So könnte man nach und nach die Funktion analysieren, aber laut der Fragestellung ist das glaub ich garnicht erforderlich, weil du, wie gesagt, dich in Klasse 11 befindest (12 oder 13 Jahre Abi?)
Zur zweiten Aufgabe: Waagerechte Tangente => Die Steigung in dem Punkt ist gleich null => Die erste Ableitung der Funktion ist hier gleich null => hier liegen Extremstellen. Da f(x) von „links kommend“ (aus dem negativen mit steigenden x werten) aus dem negativen kommt und dann in P eine Extremstelle liegt, kann hier nur ein Sattelpunkt oder ein Hochpunkt liegen. Da aber Q auch eine Extremstelle ist und höher liegt als P muss P ein Sattelpunkt sein und Q eine Extremstelle. Ich hoffe ich habs so auf die schnelle richtig analysieren können

#8

Dann kann ich wohl leider nicht weiterhelfen - bin schon zulange aus der Schule raus…

Analysis (Ableitung / Integral-Rechnung) wäre mein Ansatz gewesen… Andere Methoden kann ich leider nicht mehr!!!

Sorry

#9

Sorr, ich kann dir leider nicht helfen, ist nicht mein Gebiet.
Viel Erfolg! Probiers mal bei Mitschülern!
Awe

#10

Aufgabe 1)

Zeichne die Extrem-Punkte auf. P liegt oberhalb der X-Achse, Q unterhalb und R wieder oberhalb. Daraus und dass alle Punkte Extrempunkte sein sollen kann man schliessen, dass f(x) = -undendlich für x = -undendlich und f(x) = -unendlich für x = unendlich ist (hast du ja schön herausgefunden).

Zu den Nullstellen kann man sagen: Die Kurve schneidet die X-Achse offensichtlich genau 4 mal: Einmal links von P, einmal zwischen P und Q, einmal zwischen Q und R und einmal rechts von R. Die Funktion f(x) hat somit sicher 4 reelle Nullstellen! Diese können wohl nur nummerisch berechnet werden.

Die Funktion f(x) kann man wiefolgt berechnen: Wir wissen 3 Extrempunkte von f(x). An diesen Stellen ist die Ableitung f’(x) = 0. Zudem wissen wir das Verhalten von f(x) für grosse x und somit auch das Verhalten von f’(x) für grosse x. Daraus kann f’(x) berechnet werden:

f’(x) = - (x + 1) (x - 1) (x - 3) = - x^3 + 3 x^2 + x - 3

Durch Integrieren von f’(x) bekommen wir f(x):

f(x) = - (1/4) x^4 + x^3 + (1/2) x^2 - 3 x + c

c kann durch Einsezten eines Punktes berechnet werden:

f(1) = -1 ergibt für c = (3/4)

Nun könnte man nummerisch die Nullstellen dieses Polynoms berechnen. Aber vermutlich genügt für die Aufgabe die Angabe, dass es 4 reelle Nullstellen gibt (aus der Grafik ablesbar).

Aufgabe 2)

Da die Funktion hier von -unendlich her kommt und bei P horizontal ist und dann weiter zu Q ansteigt, kann man schliessen, dass P kein Extrema, sondern ein Wendepunkt sein muss. Q kann sowohl ein weiterer Wendepunkt, als auch ein Maximum sein. Dies kann man nicht sagen, wenn man den weiteren Verlauf von f(x) nach Q nicht kennt.