Mathe Extremwertaufgaben

Wissenschaft Mathematik
#1

hi leute
ich hab nur 2 probleme diesmal.
Wir schreiben demnächst eine klausur.
unsere lehrerin hat uns ein übungsblatt gegeben aber ich komm bei den letzten zwei aufgaben nicht weiter.

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= 4-x².
Berechnen sie den maximalen und minimalen Abstand des Graphen Gf vom Ursprung, also vom punkt N(0/0)

Ich habe mir schon eine skizze von der funktion gemacht.
es war eine parabel mit Sy(0/4) und mit den Nullstellen
x1=2 x2=-2.Ich glaube man muss hier satz des pythagoras anwenden aber ich bin mir nicht sicher.

Die Aufgabe 2
Ein Paketdienst befördert zylinderförmige Pakete nur , wenn Länge und Umfang der Verpackung zusammen höchstens 120 cm betragen.
Berechnen sie bei welchen Abmessungen das Volumen des Zylinders möglichst groß wird.

Hier bei habe ich noch nicht mal gewusst wo ich anfangen soll.
Eigentlich kann ich die rechnungen selbst machen aber die aufgaben stellung überfordert mich immer …
ich hoffe jemand kann mir helfen

Gruß
Ramazan

#2

zu 1) Pythagoras ist richtig… Extremstellen von x^2+(4-x^2)^2 bestimmen…

zu 2)
2*pi*r + länge länge = 120cm - 2*pi*r

Maximum von pi*r^2*länge bestimmen ==>f®=pi*r^2*(120cm-2*pi*r)

Viel Erfolg

#3

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= 4-x².
Berechnen sie den maximalen und minimalen Abstand des Graphen
Gf vom Ursprung, also vom punkt N(0/0)

Ich habe mir schon eine skizze von der funktion gemacht.
es war eine parabel mit Sy(0/4) und mit den Nullstellen
x1=2 x2=-2.

wenn ihr den Scheitel mit Sy bezeichent: richtig

Ich glaube man muss hier satz des pythagoras
anwenden aber ich bin mir nicht sicher.

auch richtig
Ein Punkt der Parabel hat die Koordinaten x und x^2-4
Markiere mal einen Punkt P(X|Y)
Dann ist der Abstand von (0|0):

A=wurzel(X^2-Y^2) = Wurzel(x^2+(x^2-4)^2)

Dazu musst du die Extrema bestimmen

Kannst Du das?

Die Aufgabe 2
Ein Paketdienst befördert zylinderförmige Pakete nur , wenn
Länge und Umfang der Verpackung zusammen höchstens 120 cm
betragen.
Berechnen sie bei welchen Abmessungen das Volumen des
Zylinders möglichst groß wird.

Ein Zylinder mit dem Radius R und der Länge l hat das Volumen:

V= pi*r^2*l ( Grundfläche * Höhe)

und den Umfang U = 2*pi*r

Also ist U+l = 2*pi*r+l=120 (verschenken beutet hier auf jeden Fall kleineres V)
l = 120 - 2*pi*r

das bei v einsetzen

V = pi*r^2*(120 - 2*pi*r)

und Maximum betimmen

#4

Hmm mal sehen. Oberstufen-Mathe ist schon ne Weile her bei mir. Ich denke für die erste Aufgabe musst du erst mal ne Gleichung für den Abstand erstellen. Also die Wurzel aus (Punkt 2 - Punkt 1)² oder so? Wobei Punkt 1 der Nullpunkt ist und Punkt 2 ein beliebiger Punkt auf dem Graph, also (x/4-x²). Von der Gleichung musst du dann die Extremwerte berechnen, also Ableiten und die neuen Nullpunkte finden.

Aufgabe 2 ist auch ne Extremwertaufgabe. Volumen eines Zylinders ist πr²*h, Länge ist h, Umfang ist 2πr. Länge plus Umfang, also 2πr+h=120cm. Sinnvollerweise löst du das nach h auf und setzt es in das Volumen ein, dann hast du V=πr²*(120cm-2πr). Von der Gleichung willst du dann den Maximalwert ausrechnen, also bei welchem Wert von r das maximale V rauskommt. Ich denke mal, die Gleichung musst du vorher ausmultiplizieren.

Ich hoffe, das hilft weiter!
LG

#5

Aufgabe 1:
Du suchst den Punkt P(x/y) mit minimalem Abstand. Der y-Wert ist gegeben durch die Funktion: 4-x^2 (weil der Punkt ja auf dem Graphen liegt). Dann musst du nur noch mit Pythagoras ansetzen: d = Wurzel(x^2 + y^2).
Die Wurzel kannst du für die Bestimmung des Extremwertes weglassen.
Du suchst also das Extremum der Funktion x^2 + (4-x^2)^2.

Aufgabe 2:
Nebenbedingung: l + 2Pir = 120 Damit kannst du später eine der Variablen rausschmeißen.
Dann setzt du das Volumen an:
V = r^2*pi*l, ersetzt eine der Variablen mit der Nebenbedingung und rechnest den Maximalwert aus.

#6

Zu ersten Aufgabe:
Ich denke nicht das der Satz des Pythagoras bei einer quadratischen Funktion hilft. Noch denke ich das ich genauso von der Art der Aufgabenstellung verwirrt bin… .
Nullstellen berechnest du mit p-q- Formel, Satz von Veta, Polynomdivision oder Newton näherungsverfahren… .
Der Graph ist Achsensymetrisch zu y-Achse, da der Exponent gerade ist, also nicht Punktsymetrisch zum Uhrsprungspunkt. Ich kann leider nicht erahnen was genau deine Lehrerin da verlang. Das Absolutglied ist die 4, also da geht der Graph durch, ob sie darauf hinaus will weiss ich nicht… SRY

Bei der zweiten bin ich mir nicht recht sicher,ebenfalls ist hier die Aufgabenstellung sehr ungenau.
Wobei ich annheme das statt Länge eine Höhe gegeben ist und beim Umfang die Mantelfläche… .Ich gehe von einen Kreiszylinder aus, komische Verpackung, ist aber so. Sonst könnte sie ja gleich vom Recheck ausgehen… .
Aber was mich wirklich bei der 2ten Aufgabe wundert ist das es sich um cm und nicht cm² handelt Oo… .

Also: M/h= U

oder: 120/(pi)*r² = h

#7

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= 4-x².
Berechnen sie den maximalen und minimalen Abstand des Graphen
Gf vom Ursprung, also vom punkt N(0/0)

Ich habe mir schon eine skizze von der funktion gemacht.
es war eine parabel mit Sy(0/4) und mit den Nullstellen
x1=2 x2=-2.Ich glaube man muss hier satz des pythagoras
anwenden aber ich bin mir nicht sicher.

hmm, hier fällt mir so nicht direkt ein, wie man daraus ne funkion bauen könnte… aber es müsste mindestens eine funkion 4ten grades rauskommen (weil bei x=0 ist der abstand 4 und bei den NS ist der abstand = 2 und danach wird der abstand größer…

Die Aufgabe 2
Ein Paketdienst befördert zylinderförmige Pakete nur , wenn
Länge und Umfang der Verpackung zusammen höchstens 120 cm
betragen.
Berechnen sie bei welchen Abmessungen das Volumen des
Zylinders möglichst groß wird.

also:
I) umfang+länge = 120
II) umfang * länge = volumen = max.

(I) kann man umstellen -> umfang = 120-länge
-> (II) (120-länge)*länge = 120*länge - länge^2
und das is auch schon die funktion mit der man das ausrechnen kann

mfg

#8

Zu 1: Also, da liegst Du schon ganz richtig: Nach Pythagoras ist der Abstand eines Punktes vom Ursprung immer Wurzel(x² + y²), also wurzel(x² + f(x)²).
Wenn für die Funktion ID = IR ist, gibt es natürlich keinen maximalen Abstand, da dieser unendlich groß wäre. Aber ein Min erhält man in jedem Fall (genauer gesagt sind es dann 2, wegen der Symmetrie, und ein relatives Max, welches aber kein absolutes ist).

zu 2:
Vol. des Zylinders: V = r² * pi * h
Dabei gilt: 2*r + h = 120, also h = 120 - 2r.
Es muss also das Max von V® = pi*r² * (120 - 2r) bestimmt werden. Klammer noch ausmultiplizieren und dann ganz normal ableiten …

Reicht das als Starthilfe?

hi leute
ich hab nur 2 probleme diesmal.

ich hoffe jemand kann mir helfen

Gruß
Ramazan

#9

Hallo,

also zur 1. Aufgaben:

der Abstand ist nach dem Satz des Py. a²=x²+y²
so den willst du jetzt minimieren (a)
wir minimieren einfach das quadrat des abstandes, weil das egal ist und es vereinfacht.

also: min a²=x²+y²
für y setzt du jetzt 4-x² ein, dann leitest du nach x ab und kommst auf: 4x^3-14x
jetzt bestimmst du die NST: 0, -wurzel(3,5), wurzel(3,5)

die beiden wurzeln sind die x-werte vom minimalen abstand, daraus ergibt sich der y-wert für beide von 0,5

der minimale abstand ist somit: 1,937…

zur 2. Aufgabe:

der Umfang ist PI*d
aus der Aufgaben: 120

#10

Kleiner Nachtrag,

hab einen kleinen Fehler gemacht:
bei der letzten Aufgabe zum Schluss ergibt sich L nicht zu 94,54 sondern zu 40,015 und somit
V=20371

(rundungsfehler vorbehalten, aber cica :smile: )

#11

Zu Aufgabe 1: Der Abstand einer Funktion von einem Punkt lässt sich über die Norm der Differenz bestimmen. Das läuft auf Berechnungen mit dem Satz des Pythagoras hinaus :wink: Also es gilt ja, wenn der Abstand zwischen zwei Punkten bestimmt werden soll: wurzel((a-c)^2+(b-d)^2). Sei nun dein Punkt: P=(a,b) Und dein Graph ist ja im Endeffekt so veranlagt: G(x)=(x,f(x))
Der Abstand ist nun halt ||G(x)-P|| (Norm von G(x)-P)
Du suchst nun also das Minimum und das Maximum von
sqrt((x-a)^2+(f(x)-b)^2),
mit sqrt == Square root == Wurzel (Da ist dein Pythagoras)
Das Maximum müsste aber unendlich liegen, da die Funktion ja gegen Minus unendlich geht.

Zu Aufgabe 2: Die Aufgabenstellung meint halt: wenn du einen Zylinder hast, darf die Summe von Verpackungslänge und Verpackungsumfang nur kleiner 120cm sein. Allgemein:
Wenn du dir rechts die Skizze ansiehst(http://de.wikipedia.org/wiki/Zylinder_%28Geometrie%29) gilt: h+pi*d

#12

Hi Ramazan,

erstmal keine Panik, wie Du selbst schreibst

Eigentlich kann ich die rechnungen selbst machen…

Gut, dann gebe ich nur ein paar Denkanstöße - ok?!
Da ich nicht weis, in welcher Klassenstufe bist, vemute ich mal aus der Aufgabebstellung heraus, dass ihr mit Ableitungen arbeiten sollt!
Mache Dir doch mal Gedanken darüber, zu welchen Ergebnissen Du mit der 1., 2., 3. und weiteren Ableitung grundsätzlich kommst! Hinweis als Beispiel: Bei einer kubischen Funktion (max. 3 Nullst.) ist die 1. Ableitung eine quadrat. Funktion (max. 2 Nullst.). Diese 2 Nullst. ergeben die beiden „x“-Werte der Scheitelpunkte der kubischen Ausgangsfunktion, eine weitere Ableitung bringt eine lineare mit max 1 Nullst. („x“-Wert Wendepunkt der kubischen)…
Die so gefundenen „x“-Werte in die Ausgangsfunktion eingesetzt ergeben die gesuchten „y“-Werte!

… bei den letzten zwei aufgaben nicht weiter.

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= 4-x².
Berechnen sie den maximalen und minimalen Abstand des Graphen
Gf vom Ursprung, also vom punkt N(0/0)

Ich habe mir schon eine skizze… gemacht.
es war eine parabel mit Sy(0/4)… x1=2 x2=-2…

Den Satz des Pytagoras lass mal beiseite! Mit Skizze und deren Ergebnissen liegst Du schon gut. Da die Parabel offen ist, entfernt sie sich also mit zunehmendem „x“ immer mehr vom Ursprung (max Abstand also „unendlich“). Ein min. Abstand kann also nur beim Scheitelpunkt (bzw. dieser selbst) sein. Also 1. Ableitung Nullstellen berechnen!

Ein Paketdienst befördert zylinderförmige Pakete nur , wenn
Länge und Umfang der Verpackung zusammen höchstens 120 cm
betragen.
Berechnen sie bei welchen Abmessungen das Volumen des
Zylinders möglichst groß wird.

Hinweis: Aus der Erfahrung wissen viele, dass ein Körper mit vergleichsweise kleiner Oberfläche und großem Volumen ein Würfel ist. Langgesteckte Quader mit gleichem Volumen wie der Würfel haben deutlich größere Oberfläche. In Deinem Fall wird also ein gedrungenen Zylinder gesucht… Mach Dir solche Gedanken immer vorher, damit Du überhaupt weist, wohin die „Reise“ gehen muss! (Beim Rechnen in den unteren Klassen nennt man das Überschlag)

Stell Dir hier zunächt mal die Gleichung auf, mit der Du das Volumen des Zylinders aus deren Länge und Radius ermittelst und bringe die Bedingung L+U=120 (nach L oder r umgestellt - must probieren, was sich einfacher rechnen lässt - kommt aber aufs gleiche) hinein. Dann wieder 1. Ableitung, Nullstellen…
Die Ausgangsfunktion sollte also 3. Grades sein, die Ableitung 2. Grades (2 Nullst. für die Scheitelpunkte (Minimum und Maximum), welche ja gesucht weden…)

Hoffe, ich konnte Dich auf den Weg bringen, falls nicht kontaktiere mich unter [email protected]

#13

wow vielen danke leute ich verstehe das jetzt einbahnfrei
zumindest zum größten teil :smiley:

Gruß Ramazan

#14

Also, Abstand heißt, du hast eine (kleinste) Verbindung deines Punktes mit einem Punkt des Graphen, das ist eine Strecke. Nun willst du genau den Punkt finden, wo die Strecke am kürzesten ist.
Sagen wir dein Punkt Q hat folgende Koordinaten:

Q(a/b)

Wir haben einen Punkt, der zum Graphen gehört, den nennen wir P. Dann ist

Strecke PQ = Abstand

und denn nenne ich jetzt r, also

PQ = r

Dann machst du dir sozusagen für jeden Punkt ein rechtwinkliges Dreieck. Die eine Seite ist (x-a) und die andere (y-b), wobei y = f(x). Nach Pythagoras gilt dann

r^2 = (x-a)^2 + (f(x)-b)^2

Das nach r umgestellt ergibt

r = wurzel aus ((x-a)^2 + (f(x)-b)^2)

Jetzt kannst du, wenn du willst für jeden Punkt x das r ausrechnen. Du willst aber nicht irgendeinen Punkt, sondern den, wo der Abstand am kleinsten ist. Da diese obige Gleichung für alle x gilt, machst du einfach eine Funktion draus, indem du sagst:

r = d(x)

Dann hast du

d(x) = wurzel aus ((x-a)^2 + (f(x)-b)^2)

Und somit hast du den Abstand für jedes x mithilfe einer Funktion dargestellt. Wenn du jetzt herausfinden willst, wann d(x), also r, minimal wird, musst du nur noch diese Funktion ableiten und gleich 0 setzen! Und dann findest du dein x, wo r minimal wird. Dann noch zeigen, dass es ein Minimum ist und dann in f(x) = … den gerade gefundenen x-Wert einsetzen und du hast auch deinen y-Wert. Und dann hast du deinen gesuchten Punkt.

zu Aufgabe 2:

Du musst zunächst eine Hauptbedingung und eine nebenbedingung aufstellen. Die HB ist die Gleichung der Größe, die maximal/ minimal werden soll. Hier das Volumen.

HB: V(Zylinder) = pi * d^2/4 * h (d=durchmesser, h=Länge, ^2 = quadrat

Nebenbedingung: Das, was gegeben ist. Die Summe aus Umfang und Höhe/ Länge des Zylinders soll 120 cm sein.

NB: 120 = d * pi (Umfang) + h (Höhe)

Nebenbedingung nach einer Variablen (h bietet sich eher an) umformen und in Hauptbedingung einsetzen damit diese nur noch eine variable d beinhaltet.

Jetzt kannst du diese Funktion ableiten und gleich Null setzen und das d ausrechnen, für welche die ableitung null wird. Das d setzt du dann in die Hauptbedingung ein, um das zugehörige h auszurechnen.

Jetzt wieder prüfen, ob min oder max und dann bist du auch schon fertig.

viele Grüße

J.H.

#15

Zur Aufgabe 2:

Du willst ja das größtmöglichste Volumen, für das Zylindervolumen gilt:

V = pi*r²*h, es gilt u = 2*pi*r, r = u/(2*pi)

also V = u²/(4*pi)*h

und du weißt ja h+u = 120 cm, so in der Funktion einfach h oder u ersetzen und dann das Maximum der Funktion bestimmen.